Soluzioni
  • Con identità fondamentale di Eulero (o formula di Eulero) si intende una relazione ben precisa che lega la funzione esponenziale complessa con le funzioni trigonometriche. Essa afferma che per ogni \theta\in\mathbb{R} vale l'identità:

    e^{i\theta}=\cos(\theta)+ i \sin(\theta)

    A volte con identità di Eulero si intende anche quella che si ritiene la più bella formula della matematica:

    e^{i \pi}+1=0

    Perché tale identità è così importante? Semplicemente perché presenta tutte le più importanti costanti della matematica:

    - il numero di Nepero e;

    - l'unità immaginaria: i;

    - il numero 1, elemento neutro rispetto alla moltiplicazione;

    - il numero 0, elemento neutro rispetto all'addizione;

    Identità di Eulero come caso particolare della formula di Eulero

    Onde evitare di fare confusione è sempre bene riferirsi alla formula di Eulero come alla formula che lega la forma esponenziale dei numeri complessi alla forma trigonometrica.

    e^{i\theta}=\cos(\theta)+ i \sin(\theta)

    Al contrario, solitamente con l'espressione identità di Eulero ci si riferisce all'applicazione della formula di Eulero scegliendo come angolo \theta il Pi Greco:

    e^{i \pi}+1=0

    Osserviamo che l'identità di Eulero si ottiene dall'omonima formula sostituendo \theta= \pi, infatti:

    \\ e^{i\pi}= \cos(\pi)+ i \sin (\pi)= -1+ i 0= -1\\ \\ \implies e^{i \pi}+1= 0

    Applicazioni e utilizzi della formula di Eulero

    Poiché la formula di Eulero è una relazione fondamentale in Matematica, i suoi utilizzi sono talmente tanti da rendere difficile la compilazione di un elenco di applicazioni.

    A titolo di esempio, la delle principali implicazioni pratiche dell'identità di Eulero riguarda il passaggio dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica dei numeri complessi, e viceversa.

    A proposito: se vuoi approfondire puoi dare uno sguardo alle lezioni sui numeri complessi.

    Come dimostrare la formula di Eulero

    La dimostrazione della formula di Eulero non è immediata perché richiede conoscenze teoriche piuttosto avanzate nell'ambito dell'Analisi Complessa: l'impianto dimostrativo è banale, ma richiede di conoscere gli sviluppi complessi del seno e del coseno. Con tale prerequisito è sufficiente procedere per sostituzione. ;)

    Risposta di Ifrit
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