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  • La divisione tra monomi è un operazione che associa a due monomi un terzo monomio, detto monomio quoziente, a patto che i due monomi siano divisibili tra loro. In tale eventualità il risultato è un monomio che ha come parte numerica il rapporto dei coefficienti e come parte letterale il rapporto tra le parti letterali.

    Prima di vedere la regola di calcolo e i relativi esempi è necessaria qualche precisazione. ;)

    Divisione tra monomi e rapporto tra monomi

    La divisione tra due monomi, per come è definita, ha come risultato un monomio se e solo se il monomio dividendo e il monomio divisore soddisfano la condizione di divisibilità. Di conseguenza la condizione di divisibilità è il presupposto affinché la divisione tra monomi restituisca un monomio.

    Per prendere in considerazione anche il caso in cui i due monomi non sono divisibili tra loro si parla, più in generale, di rapporto tra monomi.

    Ad esempio

    \frac{3x^2y}{xy}=3x

    è un rapporto tra monomi, ed è in particolare una divisione tra monomi con monomio quoziente 3x.

    \frac{5xyt}{xyz}=\frac{5t}{z}

    è un rapporto tra monomi ma non è una divisione tra monomi, perché il risultato non è un monomio (è una frazione algebrica).

    Condizione di divisibilità tra monomi

    Un monomio (dividendo) si dice divisibile per un altro monomio (divisore) se esiste un ulteriore monomio (quoziente) che moltiplicato per il secondo dà il primo.

    In sintesi, per dividere due monomi tra loro dobbiamo fare molta attenzione, perché non è sempre possibile farlo.

    Consideriamo il rapporto tra due generici monomi

    \underbrace{\mbox{Monomio \ 1}}_{monomio \ dividendo} : \underbrace{\mbox{Monomio \ 2}}_{monomio \ divisore} \ = \ ?

    Per poter svolgere la divisione tra i due monomi è necessario dobbiamo quindi prestare attenzione affinché:

    - tutte le lettere del monomio divisore siano presenti anche nel monomio dividendo;

    - gli esponenti di ogni lettera del monomio divisore siano minori o uguali agli esponenti delle corrispondenti lettere del monomio dividendo.

    Da qui si vede che la parte numerica è irrilevante nell'ottica della divisibilità.

    Regola per la divisione tra monomi

    Se la condizione di divisibilità viene rispettata, il risultato della divisione tra due monomi è un monomio che ha:

    - come parte numerica, il rapporto tra le parti numeriche dei due monomi;

    - come parte letterale, quella che si ottiene applicando le proprietà delle potenze e in particolare la regola della divisione tra potenze con la stessa base.

    Esempi sul quoziente di due monomi

    1) Calcolare il seguente rapporto tra monomi

    \left(\frac{1}{2}x^5y^3z^2 \right) : \left(2x^3y \right)

    Svolgimento: siamo in presenza di una divisione tra monomi, infatti le lettere del divisore sono presenti anche nel dividendo e compaiono con esponenti minori-uguali.

    =\frac{\frac{1}{2}}{2}\cdot\frac{x^5}{x^3}\cdot \frac{y^3}{y}\cdot z^2=

    Per la parte numerica usiamo la regola per le frazioni di frazioni; per quella letterale usiamo la regola per la divisione tra potenze con la stessa base, quindi per ciascuna lettera consideriamo la differenza degli esponenti

    =\frac{1}{4}x^{5-3}y^{3-1}z^2=

    da cui

    =\frac{1}{4}x^2y^2z^2

    2) Calcolare

    \left(\frac{1}{16}a^3b^2c \right):\left(\frac{1}{2}a^4bc \right)

    Svolgimento: non siamo in presenza di una divisione tra monomi! Le lettere del divisore sono presenti anche nel dividendo, ma la a nel divisore ha esponente maggiore rispetto al dividendo.

    Possiamo tenere il rapporto così com'è, oppure semplificare il semplificabile... Ma solo se sappiamo già cosa sono le frazioni algebriche. ;)

    \frac{\frac{1}{16}a^3b^2c}{\frac{1}{2}a^4bc}=\frac{b}{8a}

    *** 

    Potrebbe interessarti la nostra lezione sulle operazioni tra monomi - click!

    Risposta di Galois
 
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