Soluzioni
  • Il prodotto di due numeri complessi si calcola in modi diversi a seconda che i numeri da moltiplicare siano espressi in forma algebrica, in forma esponenziale oppure in forma trigonometrica.

    Analizziamo ciascuna delle tre eventualità separatamente, ricavando le rispettive formule e proponendo alcuni esempi.

    Prodotto tra due numeri complessi in forma algebrica

    Per calcolare il prodotto tra due numeri complessi in forma algebrica si usa la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, ossia si calcola l'usuale moltiplicazione tra polinomi, per poi applicare la definizione di unità immaginaria

    i^2=-1

    Per fissare le idee consideriamo due numeri complessi in forma algebrica

    \\ z_1=a+ib \\ \\ z_2=c+id

    e calcoliamone il prodotto

    \\ z_1 \cdot z_2 = (a+ i b)\cdot(c+ i d) = \\ \\ = ac+iad+ibc+i^2bd=

    Sostituiamo i^2=-1 e raccogliamo a fattor comune i

    =ac-bd + i (ad+bc)

    In definitiva:

    z_1\cdot z_2= (a+ i b)\cdot(c+ i d)= (ac-bd)+i (ad + bc)

    Esempio sul prodotto tra numeri complessi in forma algebrica

    \\ z_1=1+i\\ \\ z_2=1+3i

    Il prodotto z_1\cdot z_2 è dato da:

    z_1\cdot z_2= (1+i)(1+3i)=1+3i+ i+3 i^2= -2+ 4i

    Prodotto tra due numeri complessi in forma esponenziale

    Supponiamo che i numeri complessi siano espressi in forma esponenziale:

    \\ z_1= \rho_1 e^{i \theta_1}\\ \\ z_2=\rho_2 e^{i \theta_2}

    Per calcolarne il prodotto basta usare le proprietà delle potenze

    z_1\cdot z_2= \rho_1 e^{i \theta_1} \rho_2 e^{i \theta_2} = \rho_1 \rho_2 e^{i(\theta_1+ \theta_2)}

    Possiamo allora asserire che il prodotto di due numeri complessi in forma esponenziale è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti dei numeri complessi assegnati.

    Esempio sul prodotto tra numeri complessi in forma esponenziale

    \\ z_1= \sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{2}}\\ \\ z_2=2 e^{i\frac{\pi}{2}}

    Il prodotto è dato da

    z_1\cdot z_2= 2\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{2}\right)}=2\sqrt{2}e^{i \pi}= - 2\sqrt{2}

    Prodotto tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica

    Il prodotto tra due numeri complessi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo la somma dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.

    Per verificarlo consideriamo due numeri complessi in forma trigonometrica

    \\ z_1=\rho_1(\cos(\theta_1)+ i\sin(\theta_1))\\ \\ z_2=\rho_2(\cos(\theta_2)+ i\sin(\theta_2))

    Passiamo dalla forma trigonometrica all'esponenziale usando l'identità di Eulero

    e^{i \theta}= \cos(\theta)+ i\sin(\theta)

    di conseguenza

    \\ z_1=\rho_1(\cos(\theta_1)+ i\sin(\theta_1)) = \rho_1 e^{i\theta_1} \\ \\ z_2=\rho_2(\cos(\theta_2)+ i\sin(\theta_2)) = \rho_2 e^{i\theta_2}

    Svolgiamo il prodotto tra i numeri complessi in forma esponenziale

    z_1\cdot z_2= \rho_1 e^{i \theta_1} \rho_2 e^{i \theta_2} = \rho_1 \rho_2 e^{i(\theta_1+ \theta_2)}

    e torniamo alla forma trigonometrica:

    z_1\cdot z_2= \rho_1\rho_2 (\cos(\theta_1+ \theta_2)+ i \sin(\theta_1+ \theta_2))

    ***

    Per approfondire:

    - numeri complessi;

    - modulo e argomento di un numero complesso;

    - operazioni tra numeri complessi.

    Risposta di Ifrit
 
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