Soluzioni
  • Le formule per il prodotto tra due numeri complessi variano parecchio a seconda che i due numeri siano espresse nelle varie possibili forme.

    Prodotto tra due numeri complessi in forma algebrica

    Dati due numeri complessi in forma algebrica

    \\ z_1=a+ib\\ \\ z_2=c+id

    dove a,c e b,d sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei numeri z_1,z_2, il prodotto z_1\cdot z_2 è dato da

    z_1\cdot z_2= (a+ i b)\cdot(c+ i d)= (ac-bd)+i (ad + bc)

    In sostanza si ricorre alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e si calcola l'usuale moltiplicazione tra polinomi, per poi applicare la definizione dell'unità immaginaria 

    i^2=-1

    Esempio sul prodotto tra numeri complessi

    \\ z_1=1+i\\ \\ z_2=1+3i 

    Il prodotto z_1\cdot z_2 è dato da:

    z_1\cdot z_2= (1+i)(1+3i)=1+3i+ i+3 i^2= -2+ 4i

    Prodotto tra due numeri complessi in forma esponenziale

    Supponiamo che i numeri complessi siano dati nella forma esponenziale:

    \\ z_1= \rho_1 e^{i \theta_1}\\ \\ z_2=\rho_2 e^{i \theta_2}

    In questo caso il prodotto tra i due numeri complessi è:

    z_1\cdot z_2=\rho_1 \rho_2 e^{i(\theta_1+ \theta_2)}

    Possiamo asserire che il prodotto di due numeri complessi in forma esponenziale è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti dei numeri complessi assegnati.

    Esempio sul prodotto tra numeri complessi in forma esponenziale

    \\ z_1= \sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{2}}\\ \\ z_2=2 e^{i\frac{\pi}{2}}

    Il prodotto è dato da

    z_1\cdot z_2= 2\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{2}\right)}=2\sqrt{2}e^{i \pi}= - 2\sqrt{2}

    Prodotto tra due numeri complessi espressi in forma trigonometrica

    Dati due numeri complessi in forma trigonometrica

    \\ z_1=\rho_1(\cos(\theta_1)+ i\sin(\theta_1))\\ \\ z_2=\rho_2(\cos(\theta_2)+ i\sin(\theta_2))

    Grazie all'identità di Eulero

    e^{i \theta}= \cos(\theta)+ i\sin(\theta)\ \ \mbox{ per ogni }\theta\in\mathbb{R}

    La formula scritta nel caso esponenziale ci permette di passare dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica:

    z_1\cdot z_2= \rho_1\rho_2 (\cos(\theta_1+ \theta_2)+ i \sin(\theta_1+ \theta_2))

    ***

    Per approfondire: operazioni tra numeri complessi.

    Risposta di Ifrit
 
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