Soluzioni
  • Le equazioni pure sono equazioni di secondo grado incomplete del tipo ax2+c=0, con a e c diversi da zero. In altri termini un'equazione pura è un'equazione di secondo grado in forma normale in cui il coefficiente del termine di grado 1 è zero e il coefficiente del termine di grado 0 è non nullo.

    Equazione pura → ax2+c=0, con a≠0, c≠0

    Definizione e forma normale delle equazioni pure

    Facciamo riferimento alla forma normale delle equazioni di secondo grado

    ax^2+bx+c=0 \ \ \mbox{ con }a\neq 0

    Diciamo che essa individua un'equazione pura se il coefficiente del termine di primo grado è nullo (b=0) e se il termine noto è diverso da zero (c \neq 0)

    ax^2+c=0\ \ \mbox{ con }a\neq 0, \ c\neq 0

    Soluzioni di un'equazione pura

    Un'equazione pura può essere impossibile in \mathbb{R}, ossia non ammettere soluzioni reali, oppure determinata. In quest'ultimo caso ammette sempre due soluzioni reali e distinte, indipendentemente dai valori dei coefficienti a,c \in \mathbb{R}.

    Per dimostrarlo applichiamo la formula del discriminante, secondo cui le soluzioni di un'equazione di secondo grado

    ax^2+bx+c=0 \ \ \mbox{ con }a\neq 0

    sono date da

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    Nel caso di un'equazione pura è b=0, dunque abbiamo

    x_{1,2}=\frac{0\pm\sqrt{0-4ac}}{2a}=\pm\frac{\sqrt{-4ac}}{2a}=

    Portiamo il denominatore sotto radice (elevandolo al quadrato)

    =\pm\sqrt{\frac{-4ac}{4a^2}}=

    e semplifichiamo numeratore e denominatore del radicando per 4a

    =\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

    In conclusione le soluzioni di un'equazione pura

    ax^2+c=0 \ \ \mbox{ con } a \neq 0, \ c \neq 0

    sono:

    x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

    Poiché c\neq 0, le due soluzioni non possono annullarsi e dunque non c'è modo che siano coincidenti. Per il resto osserviamo che:

    - se a,c sono numeri discordi, allora il radicando è positivo e le due soluzioni sono reali e distinte. In modo del tutto analogo basta notare che se a,c sono discordi allora il delta (\Delta=-4ac) è positivo;

    - se a,c sono numeri concordi, allora il radicando è negativo, ossia il delta è negativo, e quindi l'equazione è impossibile in \mathbb{R}.

    Esempi di equazioni pure

    \bullet\ 3x^2-27=0

    è un'equazione pura con

    a=3 \ \ \ ; \ \ \ c=-27

    Poiché i coefficienti a,c sono discordi, l'equazione è determinata e ammette due soluzioni reali distinte date da

    x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}} = \pm \sqrt{\frac{-(-27)}{3}}=\pm \sqrt{9} = \pm 3

    \bullet\ -2x^2+3=0

    Anche questa è un'equazione pura determinata, infatti i coefficienti a,c hanno segno opposto

    a=-2 \ \ \ ; \ \ \ c=3

    Le sue soluzioni sono

    x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}} = \pm \sqrt{\frac{-3}{-2}}=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}

    \bullet\ x^2+4=0

    è un'equazione pura impossibile, infatti i coefficienti a,c hanno lo stesso segno

    a=1 \ \ \ ; \ \ \ c=4

    \bullet\ -5x^2-7=0

    Discorso analogo all'equazione precedente: poiché i coefficienti a,c sono concordi

    a=-5 \ \ \ ; \ \ \ c=-7

    l'equazione è impossibile in \mathbb{R}.

    ***

    Oltre alle equazioni pure esistono altri due tipi di equazioni incomplete di secondo grado, e sono:

    - le equazioni spurie;

    - le equazioni monomie.

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    Risposta di Galois
 
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