Soluzioni
  • La matrice identità di ordine n, o matrice identica di ordine n, è una matrice quadrata di ordine n che ha tutti 1 sulla diagonale principale, mentre tutti gli altri elementi della matrice sono 0.

    Formalmente, la matrice identità di ordine n I\in\mathbb{R}^{n\times n} è una matrice così fatta:

    \bullet\,\,I=\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots & \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\0&0&\cdots&0&1\end{pmatrix}

    A volte per mettere in evidenza l'ordine della matrice si ricorre ad un opportuno pedice e si fa uso del simbolo matematico:

    I_n

    Vi sono ulteriori notazioni più o meno sporadicamente usate dai libri di testo per indicare la matrice identica:

    I_{n}= (\delta_{i, j})\mbox{ con }i=1, ...,n; j=1, ..., n

    dove

    \delta_{i,j}=\begin{cases}1&\mbox{ se }i=j\\ 0&\mbox{ se }i\ne j\end{cases}

    prende il nome di delta di Kronecker.

    Proprietà della matrice identità

    1) La matrice identità ha determinante 1 per ogni n.

    2) La matrice identità è una matrice invertibile e la sua inversa coincide con se stessa;

    I_{n}^{-1}= I_n\ \ \ \forall n\in\mathbb{N}

    3) La matrice identica è la traccia pari all'ordine della matrice

    \mbox{Tr}(I_n)=n\ \ \mbox{ per ogni }n\in\mathbb{N}

    4) La matrice identica commuta con tutte le matrici quadrate che hanno lo stesso ordine:

    A I_n=I_n A\ \ \mbox{ con }A\in \mathbb{R}^{n\times n}

    5) La matrice identità è l'elemento neutro sinistro e destro rispetto alla moltiplicazione tra matrici

    A I_n=A=I_n A\ \ \mbox{ con }A\in \mathbb{R}^{n\times n}

    6) [Matrice identica e applicazioni lineari] Nell'ambito delle applicazioni lineari, la matrice identità è la matrice associata all'applicazione lineare identica:

    i: V\to V

    che ad ogni elemento v\in V associa lo stesso elemento:

    i(v)=v\in V

    Tale applicazione lineare è ovviamente un endomorfismo e, più precisamente, un isomorfismo.

    7) [Matrice identità e gruppo generale lineare] Se consideriamo l'insieme delle matrici invertibili di ordine n, ovvero l'insieme:

    GL_{n}(\mathbb{R})=\left\{A\in\mathbb{R}^{n\times n} \mbox{ tale che }A\mbox{ invertibile}\right\}

    esso un gruppo rispetto al prodotto tra matrici, detto gruppo generale lineare. La matrice identità è l'elemento neutro di tale gruppo.

    ***

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    Risposta di Ifrit
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