Retta passante per l'origine

L'equazione di una retta passante per l'origine è y=mx oppure ax+by=0, rispettivamente in forma esplicita e in forma implicita. L'aspetto che accomuna tutte le equazioni delle rette per l'origine degli assi è che il loro termine noto è pari a zero.

Esempi di rette passanti per l'origine

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è un esempio di retta passante per l'origine in forma esplicita. Si presenta infatti nella forma

Questa tra l'altro è l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante, una retta che si ripropone spesso negli esercizi.

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è invece un esempio di retta passante per l'origine in forma implicita. La sua equazione è del tipo

Anche questa è una retta piuttosto importante, infatti è la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

• , che è l'equazione dell'asse x, è un altro esempio di retta per l'origine in forma esplicita in cui il coefficiente è nullo (si può anche intendere come una forma implicita con ).

• , che è l'equazione dell'asse y, è l'equazione di una retta per l'origine in forma implicita, i cui coefficienti sono . In particolare è l'unica retta per l'origine che non si può esprimere in forma esplicita.

Retta per l'origine in forma implicita

Consideriamo l'equazione generale di una retta in forma implicita

dove sono numeri reali, con non entrambi nulli.

Imponiamo che la retta passi per l'origine degli assi, ossia per il punto .

A tal proposito ricordiamo che un punto appartiene al grafico di una retta se le coordinate cartesiane del punto ne soddisfano l'equazione, per cui sostituiamo e nella generica equazione:

Otteniamo c=0, dunque l'equazione in forma implicita di una retta passante per l'origine è ax+by=0.

Retta per l'origine in forma esplicita

Partiamo dall'equazione generale di una retta in forma esplicita

e anche qui sostituiamo e :

Si ottiene q=0, quindi l'equazione in forma esplicita di una retta passante per l'origine è y=mx.

Ciò non dovrebbe sorprenderci, infatti il coefficiente dell'equazione y=mx+q è l'ordinata all'origine, ossia l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse y. Evidentemente una retta che passa per l'origine interseca l'asse delle ordinate nel punto , per cui .

Il coefficiente è invece il coefficiente angolare, ed esprime l'inclinazione della retta rispetto all'asse x. In una retta per l'origine l'inclinazione è uguale alla tangente dell'angolo che ha come vertice l'origine e che viene misurato in senso antiorario partendo dal semiasse delle ascisse positive.

Inclinazione di una retta che passa per l'origine.

Come trovare l'equazione di una retta passante per l'origine

Per determinare l'equazione di una retta qualsiasi del piano cartesiano abbiamo bisogno:

- delle coordinate di due suoi punti, oppure

- di un punto appartenente alla retta e del suo coefficiente angolare.

Nel caso di una retta per l'origine conosciamo già un punto, che è l'origine degli assi . Per trovarne l'equazione sono allora sufficienti un altro punto della retta oppure il suo coefficiente angolare.

Vediamo qualche esempio.

1) Trovare l'equazione della retta passante per l'origine e parallela alla retta

Svolgimento: scriviamo l'equazione generale e in forma esplicita di una retta per l'origine

e troviamo il valore di utilizzando la condizione di parallelismo, secondo cui due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Calcoliamo la pendenza della retta

Poiché ed sono parallele, deve essere

e quindi

2) Scrivere l'equazione della retta passante per l'origine e per il punto .

Svolgimento: partiamo ancora una volta dall'equazione in forma esplicita di una retta per l'origine

e determiniamo il valore di imponendo il passaggio per il punto .

Sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione della retta

e otteniamo . In conclusione:

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Per concludere ti segnaliamo il formulario sulla retta e i seguenti approfondimenti:

- dalla forma esplicita alla forma implicita di una retta;

- dalla forma implicita alla forma esplicita di una retta;

- come disegnare una retta nel piano cartesiano.

Qui si YouMath è anche disponibile un comodo tool per risolvere la retta online.