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  • Un polinomio in una indeterminata si dice polinomio completo se presenta tutte le potenze dal grado più alto fino al grado zero. Un polinomio in una o più indeterminate si dice polinomio completo rispetto a una lettera se contiene tutte le potenze della lettera considerata, dal grado massimo fino al grado zero.

    Vediamo le due definizioni nel dettaglio, facendo riferimento ad alcuni esempi.

    Definizione di polinomio completo rispetto a una lettera

    Diciamo che un polinomio in più una o più indeterminate (lettere) è completo rispetto a una lettera se contiene tutte le potenze della lettera, a partire dal grado più alto con cui essa compare fino al grado zero.

    Esempi

    1) Consideriamo il seguente polinomio P(a,b) nelle indeterminate a,b

    P(a,b)=5a^3b-\frac{1}{2}a^2+3ab^2+7b^5

    P(a,b) è un polinomio completo rispetto alla lettera a, ma non rispetto alla lettera b.

    La potenza di grado più alto con cui compare a è 3 e, a partire da 3, troviamo tutte le sue potenze fino al grado zero (dato dal termine 7b^5).

    Riguardo alla lettera b, il grado massimo è 5. Osservando che il termine di grado 4 in b non è presente, concludiamo che il polinomio non è completo rispetto alla lettera b.

    2) Il polinomio Q(a,b,c) nelle indeterminate a,b,c

    Q(a,b,c)=17a^3b^2c+\frac{1}{5}ab+7a^4b^5-\frac{1}{2}a^2

    non è completo né rispetto ad a (per la quale manca il grado zero), né rispetto a b (per la quale mancano gli esponenti 4 e 3, ma è completo rispetto alla lettera c (che si presenta con grado massimo 1).

    3) Il polinomio R(x) nell'indeterminata x, dato da

    R(x)=x^3+x^2+x+1

    è un polinomio completo rispetto alla lettera x.

    Definizione di polinomio completo

    Diciamo che un polinomio in una indeterminata è un polinomio completo se è un polinomio completo rispetto alla sua unica lettera.

    Da questa semplice definizione si capisce che, nel caso dei polinomi a una indeterminata, le nozioni di completezza e di completezza rispetto a una lettera sono equivalenti.

    Esempi di polinomi completi

    1) Il polinomio P(x) nell'indeterminata x, dato da

    P(x)=x^5+3x^4+2x^2-x-1

    è un polinomio completo.

    2) Il polinomio R(x) nell'indeterminata x, dato da

    R(x,y)=x^2-4x

    non è un polinomio completo.

    Osservazione (completezza e termine di grado zero)

    Per stabilire se un polinomio è completo (una indeterminata) o completo rispetto a una lettera (una o più indeterminate) il controllo sulle potenze dal grado massimo al grado 1 è semplice, quindi è fondamentale prestare attenzione al termine di grado zero.

    Nel caso dei polinomi completi, quindi in una indeterminata, il termine di grado zero è dato da qualsiasi numero senza indeterminata. Sappiamo infatti che un monomio puramente numerico è un monomio in cui la lettera compare con esponente zero.

    Attenzione ad esempio ai polinomi quali

    x^3+x^2+x

    che non sono completi, perché sprovvisti del termine di grado zero.

    Nel caso dei polinomi completi rispetto a una lettera, e in particolare in più indeterminate, il termine di grado zero rispetto a una lettera è dato da tutti i termini in cui non compare quella lettera: può essere puramente numerico, dato da un solo monomio senza la lettera considerata, o ancora essere una somma tra monomi senza la lettera considerata.

    Ad esempio:

    a^2b+ab

    qui il termine di grado zero rispetto alla lettera a non è presente.

    a^2b+ab+1

    qui il termine di grado zero rispetto alla lettera a è dato da 1.

    a^2b+ab+b

    qui il termine di grado zero rispetto alla lettera a è dato da b.

    a^2b+ab+b+c+bc

    qui il termine di grado zero rispetto alla lettera a è dato da (b+c+bc).

    Più in generale, quando si ragiona rispetto a una lettera bisogna considerare tutte le altre lettere alla stregua di numeri.

    ***

    Per concludere osserviamo che il concetto di completezza di un polinomio va a braccetto con quello di polinomio ordinato, e che ha importanti utilizzi nello studio dell'Algebra, anche a livelli avanzati.

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    Risposta di Galois
 
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