limite con logaritmo e radice cubica

Il ritorno: 

limx-->o     ln((x2  +1)(1/3) / cosx)                     (underline = linea di frazione)

                        exsenx  - cosx

                        

Chiedo scusa per l'inettitudine :)

Domanda di murderdoll
Soluzioni

Ciao murdedoll, ho letto la domanda, un attimo di pazienza e ti rispondo!

Risposta di Alpha

Riscrivo il limite, mi dai conferma che sia corretto?

lim_(x → 0)log[((x^2+1)^((1)/(3)))/(cos(x))](1)/(e^(xsin(x))−cos(x))

Risposta di Alpha

Al numeratore, l'argomento del logaritmo è radice fratto il coseno. 

Risposta di murderdoll

quindi, il logaritmo, fratto .. il resto. 

Risposta di murderdoll

Per cominciare sfruttando le proprietà dei logaritmi, in particolare prima la proprietà 4. e poi la 3 della lezione del link. Riscriviamo il limite come 

lim_(x → 0)((1)/(3)log(x^2+1)−log(cos(x)))/(e^(xsinx)−cos(x))

A questo punto dobbiamo utilizzare qualche limite notevole, che puoi trovare in questa lezione.

quelli che utilizeremo sono i seguenti: 1-cos(x)~(1/2)x2 , log(1+f(x))~f(x) , ef(x)-1~f(x) , sin(x)~x.

Attenzione, tutti questi limiti notevoli valgono quando x tende a 0!

Otteniamo

lim_(x → 0)((1)/(3)log(x^2+1)−log(1−1+cos(x)))/(e^(xsinx)−1+1−cos(x))

= lim_(x → 0)((1)/(3)x^2−log(1−(1)/(2)x^2))/(x^2+(1)/(2)x^2) =

= lim_(x → 0)((1)/(3)x^2+(1)/(2)x^2)/((3)/(2)x^2) = (5/6)/(3/2) = (5)/(9)

Alpha.

 

Risposta di Alpha

Grazie grazie grazie!! Alla prossima!

Risposta di murderdoll

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