Soluzioni
  • Ciao murdedoll, ho letto la domanda, un attimo di pazienza e ti rispondo!

    Risposta di Alpha
  • Riscrivo il limite, mi dai conferma che sia corretto?

     

    \lim_{x\to 0}{\log\left[{\frac{(x^2+1)^{\frac{1}{3}}}{\cos(x)}\right]}\frac{1}{e^{x\sin(x)}-\cos(x)}}

    Risposta di Alpha
  • Al numeratore, l'argomento del logaritmo è radice fratto il coseno. 

     

     

    Risposta di murderdoll
  • quindi, il logaritmo, fratto .. il resto. 

    Risposta di murderdoll
  • Per cominciare sfruttando le proprietà dei logaritmi, in particolare prima la proprietà 4. e poi la 3 della lezione del link. Riscriviamo il limite come 

     

    \lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{3}\log(x^2+1)-\log(\cos(x))}{e^{x\sinx}-\cos(x)}}

     

    A questo punto dobbiamo utilizzare qualche limite notevole, che puoi trovare in questa lezione.

    quelli che utilizeremo sono i seguenti: 1-cos(x)~(1/2)x2 , log(1+f(x))~f(x) , ef(x)-1~f(x) , sin(x)~x.

     

    Attenzione, tutti questi limiti notevoli valgono quando x tende a 0!

     

    Otteniamo

     

    \lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{3}\log(x^2+1)-\log(1-1+\cos(x))}{e^{x\sinx}-1+1-\cos(x)}}

     

    =\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{3}x^2-\log(1-\frac{1}{2}x^2)}{x^2+\frac{1}{2}x^2}}=

     

    =\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x^2}{\frac{3}{2}x^2}}= \frac{5/6}{3/2}=\frac{5}{9}

     

    Alpha.

     

    Risposta di Alpha
  • Grazie grazie grazie!! Alla prossima!

    Risposta di murderdoll
 
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