Fuochi di una iperbole

I fuochi dell'iperbole sono i due punti fissi per i quali la differenza delle distanze di ogni punto dell'iperbole dai fuochi è costante. In altri termini i fuochi dell'iperbole sono i punti che permettono di definirla come luogo geometrico mediante un'equazione.

In simboli il ruolo dei fuochi dell'iperbole dovrebbe essere molto più chiaro: detti essi , l'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano la condizione

dove in termini algebrici abbiamo considerato la differenza in valore assoluto perché, in generale, non possiamo sapere a priori quale tra le misure sia la maggiore.

Formule per i fuochi dell'iperbole

Le formule per le coordinate dei fuochi di un'iperbole dipendono dalla forma con cui si presenta l'equazione dell'iperbole. Dobbiamo distinguere tra i seguenti casi:

- iperbole con assi coincidenti o paralleli agli assi cartesiani e che interseca l'asse x

- iperbole con assi coincidenti o paralleli agli assi cartesiani e che interseca l'asse y

A prescindere dai casi dovremo sempre fare riferimento alla semidistanza focale, indicata con e data da

dove denotano le misure dei semiassi (per tutte le altre formule ti rimando alla lettura del formulario sull'iperbole).

Fuochi dell'iperbole con assi paralleli o coincidenti agli assi cartesiani che interseca l'asse x

Detto il centro dell'iperbole, l'equazione si presenta nella forma

e le coordinate dei fuochi sono date da

Come caso particolare dell'iperbole traslata che interseca l'asse x possiamo considerare l'iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse x, la cui equazione è data da

e le coordinate dei fuochi sono date da

Fuochi dell'iperbole con assi paralleli o coincidenti agli assi cartesiani che interseca l'asse y

Se indichiamo con il centro dell'iperbole, l'equazione è del tipo

e le coordinate dei fuochi sono date da

Come caso particolare dell'iperbole traslata che interseca l'asse y abbiamo l'iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse y, la cui equazione è data da

e le coordinate dei fuochi sono date da

Fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Le precedenti formule continuano a valere anche nel caso di un'iperbole equilatera, che per definizione è tale da avere i semiassi congruenti: . Se però consideriamo l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, e quindi con equazione della forma

allora le formule per i fuochi cambiano. Qui dobbiamo distinguere a seconda del valore del parametro che può essere positivo o negativo.

- Se allora le coordinate dei fuochi sono:

- Se allora le coordinate dei fuochi sono:

Esempi di calcolo dei fuochi dell'iperbole

1) Consideriamo l'iperbole di equazione e calcoliamone le coordinate dei fuochi.

Svolgimento: l'equazione è in forma canonica ed individua un'iperbole con centro nell'origine (assi situati sugli assi cartesiani) che interseca l'asse x.

Il semiasse trasverso è quello orizzontale e misura

Mentre il semiasse non trasverso è verticale e misura

Possiamo calcolare la semidistanza focale con la solita formula

Le coordinate dei fuochi sono quindi

2) Vogliamo determinare i fuochi dell'iperbole di equazione .

Svolgimento: osserviamo subito che l'equazione è già espressa in forma canonica. L'iperbole ha gli assi che coincidono con gli assi cartesiani (centro nell'origine) ed interseca l'asse y.

Il semiasse trasverso è quello verticale e misura

Il semiasse non trasverso è quello orizzontale e misura

Di conseguenza la semidistanza focale è

e le coordinate dei fuochi saranno:

3) Calcolare i fuochi dell'iperbole riferita ai propri asintoti di equazione .

Svolgimento: poiché il termine è positivo dobbiamo ricorrere alle formule

Come ci aspettavamo, essendo l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti giace nel primo e nel terzo quadrante e in tali quadranti devono ricadere pure i fuochi.

È tutto: per concludere ti lascio i link per la scheda di esercizi sull'iperbole e per l'utilissimo tool per studiare l'iperbole online. ;)