Soluzioni
  • L'equazione dell'ellisse individua l'ellisse come luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi; e si dimostra che tale costante è pari alla lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse.

    In questa spiegazione cerchereremo di approfondire alcuni degli aspetti che abbiamo presentato nel formulario sull'ellisse e che riguardano la sua equazione in forma canonica, nel caso in cui gli assi siano paralleli agli assi cartesiani.

    Per tutto il resto e per tutte le altre formule rimandiamo alla lettura della pagina del link.

    Il caso di riferimento riguarda l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi:

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \mbox{ con }a\neq 0,\ b\neq 0

    dove a,b indicano le misure dei semiassi dell'ellisse, rispettivamente il semiasse orizzontale e verticale.

    Guardando l'equazione è possibile capire com'è fatta l'ellisse e come disegnarla nel piano cartesiano:

    - se a^2>b^2 allora l'asse maggiore ha lunghezza 2a e giace sull'asse x;

    - se a^2<b^2 allora l'asse maggiore ha lunghezza 2b sta sull'asse y;

    - se a^2=b^2 allora l'ellisse si riduce a una circonferenza con raggio r=a=b.

    Dimostrazione (facoltativa): come ricavare l'equazione dell'ellisse

    La dimostrazione dell'equazione dell'ellisse è piuttosto complicata nel caso generale. Se però ci accontentiamo di una dimostrazione con finalità didattiche, ossia di quella che viene normalmente mostrata alle scuole superiori come esercizio teorico, possiamo considerare alcune semplificazioni che rendono il compito piuttosto semplice.

    Il punto di partenza è la condizione che traduce algebricamente la definizione dell'ellisse. Detto P=(x,y) un suo generico punto e F_1,F_2 i due fuochi, deve valere

    \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\mbox{costante}

    Semplificazioni progressive per scopi didattici.

    Consideriamo il caso di un'ellisse con assi paralleli agli assi cartesiani.

    Supponiamo che il centro dell'ellisse sia situato nell'origine degli assi cartesiani.

    Consideriamo il caso di un'ellisse con asse maggiore sull'asse delle ascisse. Dato che sappiamo già che i fuochi dell'ellisse giacciono sempre sull'asse maggiore, stiamo implicitamente considerando un'ellisse con fuochi con ordinate nulle: F_1=(x_1,0),\ F_2=(x_2,0).

    Poiché l'ellisse è simmetrica rispetto al centro, le ascisse dei fuochi saranno l'una l'opposto dell'altra: chiamiamo c il valore assoluto di tali ascisse cosicché risulta F_1=(-c,0),\ F_2=(c,0).

    Diamo inoltre per buono che la costante della precedente condizione sia uguale alla lunghezza dell'asse maggiore, per cui nel caso considerato

    \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a

    Ora usiamo la formula per la distanza tra due punti

    \sqrt{(x-(-c))^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a

    da cui

    \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a

    Per risolvere l'equazione dobbiamo elevare entrambi i membri al quadrato, in modo da eliminare le radici. Niente condizioni di esistenza: i radicandi sono somme di quadrati e dunque sono necessariamente non negativi.

    Poiché il quadrato di un binomio genera un doppio prodotto è molto più comodo portare una delle due radici a destra dell'uguale

    \sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}

    Procediamo

    (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+[(x-c)^2+y^2]

    Sviluppiamo i quadrati

    x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2cx+c^2+y^2

    Semplifichiamo il semplificabile tra i due membri

    2cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2cx

    Isoliamo la radice a destra

    4cx-4a^2=-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

    ed eleviamo nuovamente al quadrato

    16c^2x^2-32a^2cx+16a^4=16a^2[(x-c)^2+y^2]

    Dividiamo entrambi i membri per 16a^2

    \frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2=x^2-2cx+c^2+y^2

    Semplifichiamo il semplificabile e isoliamo il termine noto a destra

    \\ \frac{c^2}{a^2}x^2-x^2-y^2=c^2-a^2\\ \\ \frac{c^2-a^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2

    Moltiplichiamo tutto per -1

    \frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2

    Ora non ci resta che porre b^2=a^2-c^2, che alla luce di ciò che abbiamo dato per buono ad inizio dimostrazione risulta essere il quadrato del semiasse minore dell'ellisse.

    \frac{b^2}{a^2}x^2+y^2=b^2

    Dividiamo tutto per b^2 e abbiamo finito

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    Teniamo a precisare che la dimostrazione, nel caso in cui l'asse maggiore sia 2b e dunque giaccia sull'asse delle ordinate, è del tutto analoga e conduce alla medesima equazione. Ciò che cambia è la condizione di partenza

    \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2b

    Come riconoscere l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine

    A volte l'equazione di una ellisse potrebbe essere scritta in una forma diversa da quella canonica. Non facciamoci ingannare: per verificare che essa rappresenta effettivamente un'ellisse basta cercare di riportarla alla forma canonica mediante opportuni passaggi algebrici.

    Se alla fine otteniamo un'equazione con:

    - somma di due termini in x^2 e in y^2 con coefficienti positivi;

    - membro di destra uguale a 1;

    - due denominatori positivi;

    allora possiamo concludere che l'equazione rappresenta un'ellisse con centro nell'origine.

    Esempio

    Cosa rappresenta l'equazione 4x^2+7y^2=28\ ?

    Svolgimento: proviamo a dividere entrambi i membri per 28 in modo da avere un 1 a destra dell'uguale

    \frac{4}{28}x^2+\frac{7}{28}y^2=1\ \to\ \frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{4}=1

    Concludiamo così che l'equazione rappresenta un'ellisse con semiassi a=\sqrt{7},\ b=2 e asse maggiore di lunghezza 2a=2\sqrt{7} che giace sull'asse delle ascisse.

    Equazione dell'ellisse traslata

    Applicando opportunamente una traslazione, e utilizzando le relative formule di cambiamento delle coordinate, si ricava l'equazione dell'ellisse con centro in un punto C=(x_C,y_C)

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

    Come determinare l'equazione dell'ellisse negli esercizi

    Le possibilità sono tantissime e non è possibile racchiuderle tutte in un elenco! Come metodo guida possiamo limitarci a dire che è fondamentale ricordare le formule dell'ellisse e leggere bene i dati forniti dal problema.

    Ricordiamoci sempre che per determinare l'equazione dell'ellisse servono le misure dei semiassi a,b e le coordinate del centro (x_C,y_C). Sfruttando le informazioni sugli elementi caratteristici a noi noti saremo sempre in grado di calcolare le coordinate del centro, e di scrivere un sistema di equazioni che ci permetta di individuare le misure dei due semiassi.

    Esempi

    1) Determinare l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi avente asse maggiore sull'asse x di misura 10 ed eccentricità e=\frac{4}{5}.

    Poiché l'asse maggiore si trova sull'asse x e misura 10, abbiamo che a=5.

    Ricordando ora che l'eccentricità di un'ellisse con asse maggiore sull'asse delle ascisse è data da:

    e=\frac{c}{a}=\frac{c}{5}

    abbiamo che

    \frac{4}{5}=\frac{c}{5}

    ovvero c=4

    Sfruttando quindi la relazione c^2=a^2-b^2 possiamo ricavare

    b^2=a^2-c^2=25-16=9

    e quindi l'equazione dell'ellisse sarà:

    \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1

    2) Come ulteriore esempio, potrebbe capitare di dover scrivere l'equazione di un'ellisse passante per due punti.

    ***

    Per concludere ti lascio un paio di link utili: esercizi svolti sull'ellisse - tool per risolvere l'ellisse online.

    Risposta di Omega
 
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