Soluzioni
  • I fuochi dell'ellisse sono i due punti fissi, giacenti sull'asse maggiore, per i quali è costante la somma delle distanze da qualsiasi punto appartenente all'ellisse; sono in altri termini i punti a partire dai quali viene definita l'ellisse.

    Negli esercizi è facile calcolare le coordinate dei fuochi a partire dall'equazione dell'ellisse. Per riuscirci bastano un paio di formule e alcune considerazioni preliminari che si ottengono semplicemente leggendo l'equazione.

    Poiché i fuochi cadono sempre sull'asse maggiore, per calcolare le coordinate dei fuochi dell'ellisse si usano formule diverse a seconda di qual è l'asse maggiore dell'ellisse: orizzontale (2a) o verticale (2b).

    Formule per i fuochi di una ellisse con centro nell'origine

    Per semplicità si considera dapprima il caso di un'ellisse con centro nell'origine degli assi

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    1) Se l'asse maggiore si trova sull'asse delle ascisse, ossia se vale la condizione

    a^2>b^2

    le coordinate dei fuochi saranno

    F_1(-c,0)\ \ \ ;\ \ \ F_2(+c,0)

    dove c indica la semidistanza focale. Nel nostro caso si calcola con la formula

    c^2=a^2-b^2

    2) Se l'asse maggiore si trova sull'asse delle ordinate, ossia se vale la condizione

    b^2>a^2

    i fuochi avranno coordinate

    F_1(0,-c)\ \ \ ;\ \ \ F_2(0,+c)

    con semidistanza focale individuata dalla formula

    c^2=b^2-a^2

    3) Nel caso particolare

    a^2=b^2

    sappiamo che l'ellisse si riduce ad una circonferenza e che i fuochi coincidono con il suo centro

    F_1=F_2=O=(0,0)

    Formule per i fuochi di un'ellisse traslata

    Ricordando che l'equazione di un'ellisse traslata con centro in C=(x_C,y_C) è della forma

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

    calcoleremo le coordinate dei fuochi con formule analoghe alle precedenti.

    1) Se l'asse maggiore è l'asse orizzontale, ossia se

    a^2>b^2

    le coordinate dei fuochi sono dati da

    F_1(x_C-c,y_C)\ \ \ ;\ \ \ F_2(x_C+c,y_C)

    dove la semidistanza focale è data dalla formula

    c^2=a^2-b^2

    2) Se l'asse maggiore è l'asse verticale, cioè se

    b^2>a^2

    i fuochi hanno coordinate

    F_1(x_C,y_C-c)\ \ \ ;\ \ \ F_2(x_C,y_C+c)

    con semidistanza focale individuata dalla formula

    c^2=b^2-a^2

    3) Nel caso particolare

    a^2=b^2

    ci ritroviamo con una circonferenza in cui i fuochi collassano sul centro

    F_1=F_2=C=(x_C,y_C)

    Esempio di calcolo dei fuochi dell'ellisse

    Ricavare le coordinate dei fuochi dell'ellisse di equazione:

    \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

    Svolgimento: innanzitutto osserviamo che l'ellisse ha il centro nell'origine degli assi.

    Poiché a^2=25>16=b^2 sappiamo già che essa ha come asse maggiore l'asse orizzontale. I semiassi hanno come lunghezze

    a=5, \ b=4

    Per trovare i fuochi dobbiamo utilizzare le formule del caso 1). La semidistanza focale è data da

    c^2=\sqrt{25-16}=9 \to c=3

    e i fuochi dell'ellisse saranno

    F_1(-3,0), \ F_2(3,0)

    Per approfondire: esercizi risolti sull'ellisse - tool per studiare l'ellisse online.

    Risposta di Galois
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