Fuochi dell'ellisse

I fuochi dell'ellisse sono i due punti fissi, giacenti sull'asse maggiore, per i quali è costante la somma delle distanze da qualsiasi punto appartenente all'ellisse; sono in altri termini i punti a partire dai quali viene definita l'ellisse.

Negli esercizi è facile calcolare le coordinate dei fuochi a partire dall'equazione dell'ellisse. Per riuscirci bastano un paio di formule e alcune considerazioni preliminari che si ottengono semplicemente leggendo l'equazione.

Poiché i fuochi cadono sempre sull'asse maggiore, per calcolare le coordinate dei fuochi dell'ellisse si usano formule diverse a seconda di qual è l'asse maggiore dell'ellisse: orizzontale o verticale .

Formule per i fuochi di una ellisse con centro nell'origine

Per semplicità si considera dapprima il caso di un'ellisse con centro nell'origine degli assi

1) Se l'asse maggiore si trova sull'asse delle ascisse, ossia se vale la condizione

le coordinate dei fuochi saranno

dove indica la semidistanza focale. Nel nostro caso si calcola con la formula

2) Se l'asse maggiore si trova sull'asse delle ordinate, ossia se vale la condizione

i fuochi avranno coordinate

con semidistanza focale individuata dalla formula

3) Nel caso particolare

sappiamo che l'ellisse si riduce ad una circonferenza e che i fuochi coincidono con il suo centro

Formule per i fuochi di un'ellisse traslata

Ricordando che l'equazione di un'ellisse traslata con centro in è della forma

calcoleremo le coordinate dei fuochi con formule analoghe alle precedenti.

1) Se l'asse maggiore è l'asse orizzontale, ossia se

le coordinate dei fuochi sono dati da

dove la semidistanza focale è data dalla formula

2) Se l'asse maggiore è l'asse verticale, cioè se

i fuochi hanno coordinate

con semidistanza focale individuata dalla formula

3) Nel caso particolare

ci ritroviamo con una circonferenza in cui i fuochi collassano sul centro

Esempio di calcolo dei fuochi dell'ellisse

Ricavare le coordinate dei fuochi dell'ellisse di equazione:

Svolgimento: innanzitutto osserviamo che l'ellisse ha il centro nell'origine degli assi.

Poiché sappiamo già che essa ha come asse maggiore l'asse orizzontale. I semiassi hanno come lunghezze

Per trovare i fuochi dobbiamo utilizzare le formule del caso 1). La semidistanza focale è data da

e i fuochi dell'ellisse saranno

Per approfondire: esercizi risolti sull'ellisse - tool per studiare l'ellisse online.