Soluzioni
  • Gli asintoti di un'iperbole sono rette che approssimano il comportamento dei rami dell'iperbole all'infinito; in altri termini, man mano che i rami dell'iperbole si sviluppano, tendono ad aderire agli asintoti dell'iperbole senza mai toccarli.

    In termini più rigorosi, presi due punti di uguale ascissa di cui uno appartenente all'iperbole e l'altro all'asintoto, la distanza tra i due punti tenderà a zero man mano che ci allontaniamo dai vertici dell'iperbole, come mostrato nella seguente figura.

     

    Asintoti iperbole

    Asintoti dell'iperbole (in blu).

     

    Notate i segmentini che indicano la distanza tra due punti presi uno sull'iperbole (in rosso) e l'altro sull'asintoto (in blu) aventi stessa ascissa. Mano mano che ci allontiamo dal vertice tali segmenti diventano sempre più piccoli.

    Per le ordinate vale un'osservazione analoga.

    Equazioni degli asintoti di una iperbole

    Se consideriamo l'equazione di un'iperbole in forma canonica con centro nell'origine, indipendentemente dal fatto che essa intersechi l'asse x

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

    o che intersechi l'asse y

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

    le formule per le equazioni degli asintoti dell'iperbole sono piuttosto semplici: basta infatti ricordare che essi sono due rette individuate da

    y=\pm\frac{b}{a}x

    da cui si evince che gli asintoti hanno coefficienti angolari pari a m=\pm\frac{b}{a}, dove a,b sono rispettivamente le lunghezze del semiasse orizzontale e del semiasse verticale.

    Nel caso di un'iperbole traslata con centro in C=(x_C,y_C) che interseca l'asse x

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

    o che interseca l'asse y

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=-1

    si possono ricavare le equazioni degli asintoti con l'equazione della retta passante per un punto noto il coefficiente angolare

    (y-y_C)=\pm\frac{b}{a}(x-x_C)

    Osservazione (asintoti di un'iperbole equilatera)

    Se consideriamo il caso particolare di un'iperbole equilatera, in cui per definizione le misure dei semiassi coincidono

    a=b

    gli asintoti dell'iperbole equilatera hanno equazioni

    y=\pm x

    mentre nel caso dell'iperbole equilatera traslata abbiamo

    (y-y_C)=\pm (x-x_C)

    Da qui si vede che gli asintoti sono rette perpendicolari, dal momento che soddisfano la condizione di perpendicolarità m_1m_2=-1.

    Se infine si considera un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, allora per definizone gli asintoti coincidono con gli assi cartesiani.

    Esempio di calcolo degli asintoti di un'iperbole:

    Calcolare l'equazione degli asintoti dell'iperbole di equazione:

    \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1

    Svolgimento: essendo a=3,\ b=2 gli asintoti dell'iperbole avranno equazioni

    y=\pm\frac{b}{a}x = \pm \frac{2}{3} x

    ***

    Se vuoi esercitarti puoi dare un'occhiata alla scheda di esercizi svolti sull'iperbole, e in caso di necessità usare il tool per risolvere l'iperbole online. ;)

    Risposta di Galois
 
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