Soluzioni
  • Il fuoco di una parabola è il punto F che, rispetto ad ogni punto P della parabola, realizza la medesima distanza che c'è tra il punto P e la retta direttrice d; per definizione infatti ogni punto della parabola deve essere equidistante dal fuoco e dalla retta direttrice.

    È estremamente semplice calcolare le coordinate del fuoco della parabola negli esercizi e per riuscirci è sufficiente disporre dell'equazione della parabola. Basta solo prestare attenzione al tipo di equazione che abbiamo di fronte.

    Formule per il fuoco di una parabola

    Se la parabola ha asse di simmetria verticale, cioè parallelo all'asse y, abbiamo un'equazione del tipo:

    y=ax^2+bx+c

    e le coordinate del fuoco sono date da

    \\ F\left(-\frac{b}{2a}, \ \frac{1-\Delta}{4a} \right)\\ \\ \\ \mbox{con} \ \Delta=b^2-4ac

    Se la parabola ha asse di simmetria orizzontale, ossia parallelo all'asse x, allora abbiamo un'equazione del tipo:

    x=ay^2+by+c

    e le formule che individuano il fuoco sono in tal caso

    \\ F\left(\frac{1-\Delta}{4a}, \ -\frac{b}{2a} \right)\\ \\ \\ \mbox{con} \ \Delta=b^2-4ac

    Esempio di calcolo del fuoco della parabola

    1) Determinare le coordinate del fuoco della parabola di equazione y=x^2-3x.

    Svolgimento: la parabola proposta ha asse di simmetria verticale, con coefficienti

    a=1,\ b=-3,\ c=0

    Usiamo le formule del primo gruppo

    \\ x_F=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}\\ \\ \\ y_F=\frac{1-\Delta}{4a}=\frac{1-(b^2-4ac)}{4a}=\\ \\ \\ =\frac{1-((-3)^2-4\cdot 1\cdot 0)}{4\cdot 1}=\frac{1-9}{4}=-2

    Da qui concludiamo che il fuoco è il punto F=\left(\frac{3}{2},-2\right).

    2) Calcolare il fuoco della parabola di equazione x=2y^2+4y+2.

    Svolgimento: siamo nel caso di una parabola con asse orizzontale, con

    a=2, \ b=4, \ c=2

    In base a quanto scritto in precedenza, le coordinate del fuoco si calcolano come

    \\ x_F=\frac{1-\Delta}{4a}=\frac{1-(b^2-4ac)}{4a}=\frac{1-(16-16)}{8}=\frac{1}{8}\\ \\ \\ y_F=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1

    Quindi il fuoco della parabola sarà il punto

    F \left(\frac{1}{8}, \ -1 \right)

    Fine! Se vuoi fare un po' di allenamento ti suggerisco di consultare la scheda di esercizi svolti sulla parabola, ed eventualmente di usare il tool per studiare la parabola online all'occorrenza. ;)

    Risposta di Galois
 
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