Eccentricità dell'ellisse: formule, spiegazione e proprietà

L'eccentricità di un'ellisse è un termine che misura quanto l'ellisse è schiacciata rispetto ai propri assi. In termini precisi, essa è definita come rapporto tra la semidistanza tra i due fuochi dell'ellisse e la lunghezza dell'asse maggiore.

Formula per l'eccentricità dell'ellisse

Vediamo come calcolarla: consideriamo l'equazione dell'ellisse centrata nell'origine (nel caso di un'ellisse con centro diverso si applicano le stesse formule)

dove è la lunghezza del semiasse orizzontale e la lunghezza del semiasse verticale.

A seconda che o che , dobbiamo calcolare l'eccentricità dell'ellisse con formule diverse. La definizione resta sempre la stessa.

1) Se , e quindi se il semiasse maggiore è il semiasse orizzontale, allora l'eccentricità è data da

dove la semidistanza focale si calcola mediante la formula

2) Se , cioè se il semiasse maggiore è il semiasse verticale, allora calcoleremo l'eccentricità come

dove la semidistanza focale è data da

Come abbiamo già scritto le formule per il calcolo dell'eccentricità rimangono le stesse anche nel caso dell'ellisse traslata.

Proprietà dell'eccentricità dell'ellisse

L'eccentricità di un'ellisse è sempre un numero compreso tra 0 e 1 e, come abbiamo visto, fornisce una misura di deformazione o schiacciamento rispetto ai suoi assi:

Se allora l'eccentricità è e l'ellisse si riduce ad una circonferenza.

Man mano che l'eccentricità si avvicina a 1, l'ellisse è sempre più schiacciata lungo il suo asse maggiore e nel caso degenere si riduce ad un segmento che coincide con l'asse maggiore.

Per tutte le altre formule e definizioni ti rimando alla lettura del formulario sull'ellisse.

Esempio di calcolo dell'eccentricità

Prendiamo l'ellisse definita dall'equazione

I semiassi hanno come lunghezze

quindi e abbiamo a che fare con un'ellisse in cui l'asse maggiore è quello verticale. Se vogliamo calcolare l'eccentricità dobbiamo usare la formula del caso 2)

e quindi

Per concludere osserviamo che nel caso dell'iperbole è possibile definire una misura della deformazione del tutto analoga. Ne parliamo qui: eccentricità dell'iperbole.

È tutto! Ti lascio un paio di link utili: esercizi svolti sull'ellisse - tool per risolvere l'ellisse online.