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  • L'eccentricità di un'ellisse è un termine che misura quanto l'ellisse è schiacciata rispetto ai propri assi. In termini precisi, essa è definita come rapporto tra la semidistanza tra i due fuochi dell'ellisse e la lunghezza dell'asse maggiore.

    Formula per l'eccentricità dell'ellisse

    Vediamo come calcolarla: consideriamo l'equazione dell'ellisse centrata nell'origine (nel caso di un'ellisse con centro diverso si applicano le stesse formule)

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    dove a è la lunghezza del semiasse orizzontale e b la lunghezza del semiasse verticale.

    A seconda che a>b o che a<b, dobbiamo calcolare l'eccentricità e dell'ellisse con formule diverse. La definizione resta sempre la stessa.

    1) Se a>b, e quindi se il semiasse maggiore è il semiasse orizzontale, allora l'eccentricità è data da

    e=\frac{c}{a}

    dove la semidistanza focale c si calcola mediante la formula

    c=\sqrt{a^2-b^2}

    2) Se a<b, cioè se il semiasse maggiore è il semiasse verticale, allora calcoleremo l'eccentricità come

    e=\frac{c}{b}

    dove la semidistanza focale è data da

    c=\sqrt{b^2-a^2}

    Come abbiamo già scritto le formule per il calcolo dell'eccentricità rimangono le stesse anche nel caso dell'ellisse traslata.

    Proprietà dell'eccentricità dell'ellisse

    L'eccentricità di un'ellisse è sempre un numero compreso tra 0 e 1 e, come abbiamo visto, fornisce una misura di deformazione o schiacciamento rispetto ai suoi assi:

    0\leq e<1

    Se a=b allora l'eccentricità è e=0 e l'ellisse si riduce ad una circonferenza.

    Man mano che l'eccentricità si avvicina a 1, l'ellisse è sempre più schiacciata lungo il suo asse maggiore e nel caso degenere e=1 si riduce ad un segmento che coincide con l'asse maggiore.

    Per tutte le altre formule e definizioni ti rimando alla lettura del formulario sull'ellisse.

    Esempio di calcolo dell'eccentricità

    Prendiamo l'ellisse definita dall'equazione

    \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{49}=1

    I semiassi hanno come lunghezze

    a=5,\ b=7

    quindi a<b e abbiamo a che fare con un'ellisse in cui l'asse maggiore è quello verticale. Se vogliamo calcolare l'eccentricità dobbiamo usare la formula del caso 2)

    c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{49-25}=\sqrt{24}

    e quindi

    e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{24}}{7}

    Per concludere osserviamo che nel caso dell'iperbole è possibile definire una misura della deformazione del tutto analoga. Ne parliamo qui: eccentricità dell'iperbole.

    È tutto! Ti lascio un paio di link utili: esercizi svolti sull'ellisse - tool per risolvere l'ellisse online.

    Risposta di Omega
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