Soluzioni
  • Il vertice di una parabola è il punto di intersezione tra l'asse di simmetria e la parabola; le formule per il vertice permettono di determinarne le coordinate a partire dall'equazione della parabola, a seconda che essa sia ad asse di simmetria verticale od orizzontale.

    Qui non ci dilunghiamo con le rappresentazioni grafiche: per quelle, e per tutte le altre formule, ti rimando al formulario sulla parabola.

    Mi limito piuttosto a riportare le formule del vertice della parabola nei vari casi possibili e a proporre un esempio.

    Per trovare le coordinate del vertice della parabola partendo dalla sua equazione bisogna distinguere due casi.

    Vertice di una parabola con asse di simmetria verticale (ossia parallelo all'asse y).

    In questo caso l'equazione della parabola è del tipo

    y=ax^2+bx+c

    e le coordinate del vertice sono:

    \\ V=\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right)\\ \\ \mbox{dove }\Delta=b^2-4ac

    Vertice di una parabola con asse di simmetria orizzontale (cioè parallelo all'asse x)

    Avremo allora un'equazione della forma

    x=ay^2+by+c

    con le coordinate del vertice della parabola date da

    \\ V=\left(-\frac{\Delta}{4a},\ -\frac{b}{2a}\right)\\ \\ \mbox{dove }\Delta=b^2-4ac

    Esempi di calcolo del vertice di una parabola

    1) Data la parabola di equazione y=2x^2-4x+1 trovare le coordinate del vertice.

    Svolgimento: siamo nel caso di parabola con asse verticale con

    a=2, \ b=-4, \ c=1

    Allora:

    \\ x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=-\frac{-4}{4}=1\\ \\ \\ y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 2}=-\frac{8}{8}=-1

    Quindi il vertice della parabola ha coordinate V(1,-1).

    2) Calcolare le coordinate del vertice della parabola di equazione x=y^2+1

    Svolgimento: dato che abbiamo a che fare con un parabola ad asse orizzontale, usiamo le formule

    \\ x_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{0-4\cdot 1\cdot 1}{4\cdot 1}=-\frac{-4}{4}=1\\ \\ \\ y_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot 1}=0

    e concludiamo che la parabola ha il proprio vertice nel punto V(1,0).

    Potrebbero interessarti: tool per risolvere la parabola online - esercizi svolti sulla parabola.

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