Soluzioni
  • L'equazione della parabola individua la parabola come luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice; si presenta in due forme a seconda che l'asse di simmetria sia orizzontale o verticale.

    La richiesta è molto generica per cui cercherò di riportare le principali formule da ricordare e un esempio in cui vengono applicate.

    Ricorda che l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y è 

    y= a x^2+ b x+c\mbox{ con }a\ne 0

    Nel caso in cui l'asse di simmetria sia simmetrico rispetto all'asse x, l'equazione della parabola si scriverà nella forma:

    x= a y^2+ b y+ c\mbox{ con }a\ne 0

    Dimostrazione (facoltativa): come ricavare l'equazione della parabola

    La definizione di parabola si traduce in una condizione molto semplice: comunque si consideri un punto P=(x_P,y_P) sulla parabola esso deve presentare la medesima distanza dalla direttrice d e dal fuoco F=(x_F,y_F):

    dist(P,d)=\overline{PF}

    Per fissare le idee ragioniamo nel caso di una direttrice orizzontale d:\ y=k, con k costante.

    Per calcolare la distanza punto retta basta considerare la differenza di ordinate

    dist(P,d)=|y_P-k|

    dove dobbiamo usare il valore assoluto perché a priori non sappiamo se P si trovi al di sopra o al di sotto di d.

    Pel la lunghezza \overline{PF} ci basta usare la formula per la distanza tra due punti

    \overline{PF}=\sqrt{(x_P-x_F)^2+(y_P-y_F)^2}

    Uguagliamo le due lunghezze

    |y_P-k|=\sqrt{(x_P-x_F)^2+(y_P-y_F)^2}

    ed eleviamo al quadrato entrambi i membri in modo da eliminare la radice e il valore assoluto

    (y_P-k)^2=(x_P-x_F)^2+(y_P-y_F)^2

    Usiamo la regola per il quadrato del binomio 

    y_P^2-2ky_P+k^2=x_P^2-2x_Fx_P+x_F^2+y_P^2-2y_Fy_P+y_F^2

    Alleggeriamo le notazioni: poiché il punto P è generico conviene indicarne le coordinate con (x,y)

    y^2-2ky+k^2=x^2-2x_Fx+x_F^2+y^2-2y_Fy+y_F^2

    Portiamo a sinistra tutti i termini in y e a destra i restanti

    2y_Fy-2ky=x^2-2x_Fx+x_F^2+y_F^2-k^2

    Riordiniamo ed effettuiamo un raccoglimento totale su y a sinistra

    (2y_F-2k)y=x^2-2x_Fx+x_F^2+y_F^2-k^2

    Poiché il punto P giace sulla parabola e non sulla direttrice, sicuramente y_F-k\neq 0

    y=\frac{1}{2(y_F-k)}x^2-\frac{x_F}{y_F-k}x+\frac{x_F^2+y_F^2-k^2}{2(y_F-k)}

    e abbiamo finito: da qui si vede che una parabola con asse di simmetria verticale ha proprio la struttura

    y=ax^2+bx+c\ \ \ \mbox{con }a\neq 0

    Formule per l'equazione della parabola

    Riguardo alle formule da usare, tipicamente gli esercizi assegnano alcuni degli elementi caratteristici di una parabola:

    - vertice della parabola V

    - asse di simmetria della parabola a

    - fuoco della parabola F

    - direttrice della parabola d

    Ognuno di tali elementi caratteristici è legato all'equazione della parabola da alcune formule, a seconda che la parabola abbia asse verticale o orizzontale.

    Dall'equazione della parabola con asse verticale

    y=ax^2+bx+c

    \\ V=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)\ \ \ ;\ \ \ F=\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\\ \\ \\ a:\ x=-\frac{b}{2a}\ \ \ ;\ \ \ d:\ y=-\frac{1+\Delta}{4a}

    \mbox{dove }\Delta=b^2-4ac

    Dall'equazione della parabola con asse orizzontale

    x=ay^2+by+c

    \\ V=\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\ \ \ ;\ \ \ F=\left(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\\ \\ \\ a:\ y=-\frac{b}{2a}\ \ \ ;\ \ \ d:\ x=-\frac{1+\Delta}{4a}

    \mbox{dove }\Delta=b^2-4ac

    Nota: queste formule vengono riproposte in termini più dettagliati nel formulario sulla parabola.

    Come determinare l'equazione della parabola

    Nelle due equazioni appaiono i tre coefficienti a,b,c. Negli esercizi in cui dobbiamo calcolare l'equazione della parabola essi saranno le incognite del problema. L'obiettivo consisterà quindi nel determinare a,b,c e grazie a tali valori potremo costruire l'equazione della parabola.

    Per poter determinare i tre coefficienti abbiamo bisogno di almeno tre "informazioni" che chiameremo condizioni: usando opportunamente le formule elencate in precedenza riusciremo ad impostare un sistema con tre equazioni nelle tre incognite a,b,c. In generale tale sistema non sarà purtroppo un sistema lineare e nella maggior parte dei casi dovremo risolverlo per sostituzione.

    Esempio di calcolo dell'equazione della parabola

    Vogliamo determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha per vertice V= (1,2) e fuoco F= (1,3).

    Iniziamo con lo schematizzare i dati a nostra disposizione:

    \begin{cases}V= (1,2)\\ F=(1,3)\end{cases}

    Conosciamo le coordinate del fuoco F e del vertice V, ciascuna coordinata dipenderà dalle incognite a,b,c. Le formule della parabola ci permettono di scrivere

    \begin{cases}x_V= -\frac{b}{2a}= 1\\ y_V=- \frac{b^2- 4ac}{4a}= 2\\ y_{F}=\frac{1-b^2+ 4ac}{4a}=3\end{cases}

    Per risolvere il sistema riscriviamo le equazioni nella forma

    \begin{cases}b=-2a\\ b^2- 4ac=-8a\\ 1-b^2+ 4ac=12a\end{cases}

    e, osservando che il membro di sinistra della seconda equazione è contenuto nel membro di sinistra della terza, riscriviamo quest'ultima nella forma

    \begin{cases}b=-2a\\ b^2- 4ac=-8a\\ 1-(b^2-4ac)=12a\end{cases}

    Procediamo per sostituzione

    \begin{cases}b=-2a\\ b^2- 4ac=-8a\\ 1-(-8a)=12a\ \to\ a=\frac{1}{4}\end{cases}

    Sostituiamo il valore di a nella prima

    \begin{cases}b=-\frac{1}{2}\\ b^2- 4ac=-8a\\ a=\frac{1}{4}\end{cases}

    ed il tutto nella seconda

    \begin{cases}b=-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}-c=-2\ \to\ b=-\frac{1}{2}\\ a=\frac{1}{4}\end{cases}

    Il sistema ammette quindi come unica soluzione la terna

    a= \frac{1}{4},\, b= -\frac{1}{2},\, c= \frac{9}{4}

    per cui l'equazione della parabola è:

    y= \frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x+ \frac{9}{4}

    Se in qualche esercizio dovessimo imbatterci in un sistema impossibile, supponendo che le formule usate e i calcoli siano corretti, concluderemmo che non esiste alcuna parabola tale da soddisfare le richieste della traccia.

    È chiaro quindi che ricordare bene le formule permette di individuare velocemente le condizioni necessarie per portare a casa l'esercizio. 

    Per concludere ti rimando alla scheda di esercizi svolti sulla parabola e, in caso di necessità, al tool per studiare la parabola online. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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