Equazione della parabola: formule, dimostrazione ed esempi

Autore: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit) -
Ultimo aggiornamento:

Com'è fatta l'equazione della parabola? Quali sono le possibili equazioni per una parabola ad asse di simmetria verticale od orizzontale, e quali formule bisogna usare per calcolare l'equazione della parabola in generale, negli esercizi, magari con un esempio?

L'equazione della parabola individua la parabola come luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice; si presenta in due forme a seconda che l'asse di simmetria sia orizzontale o verticale.

La richiesta è molto generica per cui cercherò di riportare le principali formule da ricordare e un esempio in cui vengono applicate.

Ricorda che l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y è 

y = a x^2+b x+c con a ne 0

Nel caso in cui l'asse di simmetria sia simmetrico rispetto all'asse x, l'equazione della parabola si scriverà nella forma:

x = a y^2+b y+c con a ne 0

Dimostrazione (facoltativa): come ricavare l'equazione della parabola

La definizione di parabola si traduce in una condizione molto semplice: comunque si consideri un punto P = (x_P,y_P) sulla parabola esso deve presentare la medesima distanza dalla direttrice d e dal fuoco F = (x_F,y_F):

dist(P,d) = PF

Per fissare le idee ragioniamo nel caso di una direttrice orizzontale d: y = k, con k costante.

Per calcolare la distanza punto retta basta considerare la differenza di ordinate

dist(P,d) = |y_P−k|

dove dobbiamo usare il valore assoluto perché a priori non sappiamo se P si trovi al di sopra o al di sotto di d.

Pel la lunghezza PF ci basta usare la formula per la distanza tra due punti

PF = √((x_P−x_F)^2+(y_P−y_F)^2)

Uguagliamo le due lunghezze

|y_P−k| = √((x_P−x_F)^2+(y_P−y_F)^2)

ed eleviamo al quadrato entrambi i membri in modo da eliminare la radice e il valore assoluto

(y_P−k)^2 = (x_P−x_F)^2+(y_P−y_F)^2

Usiamo la regola per il quadrato del binomio 

y_P^2−2ky_P+k^2 = x_P^2−2x_Fx_P+x_F^2+y_P^2−2y_Fy_P+y_F^2

Alleggeriamo le notazioni: poiché il punto P è generico conviene indicarne le coordinate con (x,y)

y^2−2ky+k^2 = x^2−2x_Fx+x_F^2+y^2−2y_Fy+y_F^2

Portiamo a sinistra tutti i termini in y e a destra i restanti

2y_Fy−2ky = x^2−2x_Fx+x_F^2+y_F^2−k^2

Riordiniamo ed effettuiamo un raccoglimento totale su y a sinistra

(2y_F−2k)y = x^2−2x_Fx+x_F^2+y_F^2−k^2

Poiché il punto P giace sulla parabola e non sulla direttrice, sicuramente y_F−k ≠ 0

y = (1)/(2(y_F−k))x^2−(x_F)/(y_F−k)x+(x_F^2+y_F^2−k^2)/(2(y_F−k))

e abbiamo finito: da qui si vede che una parabola con asse di simmetria verticale ha proprio la struttura

y = ax^2+bx+c con a ≠ 0

Formule per l'equazione della parabola

Riguardo alle formule da usare, tipicamente gli esercizi assegnano alcuni degli elementi caratteristici di una parabola:

- vertice della parabola V

- asse di simmetria della parabola a

- fuoco della parabola F

- direttrice della parabola d

Ognuno di tali elementi caratteristici è legato all'equazione della parabola da alcune formule, a seconda che la parabola abbia asse verticale o orizzontale.

Dall'equazione della parabola con asse verticale

y = ax^2+bx+c

V = (−(b)/(2a),−(Δ)/(4a)) ; F = (−(b)/(2a),(1−Δ)/(4a)) ; a: x = −(b)/(2a) ; d: y = −(1+Δ)/(4a)

dove Δ = b^2−4ac

Dall'equazione della parabola con asse orizzontale

x = ay^2+by+c

V = (−(Δ)/(4a),−(b)/(2a)) ; F = ((1−Δ)/(4a),−(b)/(2a)) ; a: y = −(b)/(2a) ; d: x = −(1+Δ)/(4a)

dove Δ = b^2−4ac

Nota: queste formule vengono riproposte in termini più dettagliati nel formulario sulla parabola.

Come determinare l'equazione della parabola

Nelle due equazioni appaiono i tre coefficienti a,b,c. Negli esercizi in cui dobbiamo calcolare l'equazione della parabola essi saranno le incognite del problema. L'obiettivo consisterà quindi nel determinare a,b,c e grazie a tali valori potremo costruire l'equazione della parabola.

Per poter determinare i tre coefficienti abbiamo bisogno di almeno tre "informazioni" che chiameremo condizioni: usando opportunamente le formule elencate in precedenza riusciremo ad impostare un sistema con tre equazioni nelle tre incognite a,b,c. In generale tale sistema non sarà purtroppo un sistema lineare e nella maggior parte dei casi dovremo risolverlo per sostituzione.

Esempio di calcolo dell'equazione della parabola

Vogliamo determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha per vertice V = (1,2) e fuoco F = (1,3).

Iniziamo con lo schematizzare i dati a nostra disposizione:

V = (1,2) ; F = (1,3)

Conosciamo le coordinate del fuoco F e del vertice V, ciascuna coordinata dipenderà dalle incognite a,b,c. Le formule della parabola ci permettono di scrivere

x_V = −(b)/(2a) = 1 ; y_V = −(b^2−4ac)/(4a) = 2 ; y_(F) = (1−b^2+4ac)/(4a) = 3

Per risolvere il sistema riscriviamo le equazioni nella forma

b = −2a ; b^2−4ac = −8a ; 1−b^2+4ac = 12a

e, osservando che il membro di sinistra della seconda equazione è contenuto nel membro di sinistra della terza, riscriviamo quest'ultima nella forma

b = −2a ; b^2−4ac = −8a ; 1−(b^2−4ac) = 12a

Procediamo per sostituzione

b = −2a ; b^2−4ac = −8a ; 1−(−8a) = 12a → a = (1)/(4)

Sostituiamo il valore di a nella prima

b = −(1)/(2) ; b^2−4ac = −8a ; a = (1)/(4)

ed il tutto nella seconda

b = −(1)/(2) ; (1)/(4)−c = −2 → b = −(1)/(2) ; a = (1)/(4)

Il sistema ammette quindi come unica soluzione la terna

a = (1)/(4), , b = −(1)/(2), , c = (9)/(4)

per cui l'equazione della parabola è:

y = (1)/(4)x^2−(1)/(2)x+(9)/(4)

Se in qualche esercizio dovessimo imbatterci in un sistema impossibile, supponendo che le formule usate e i calcoli siano corretti, concluderemmo che non esiste alcuna parabola tale da soddisfare le richieste della traccia.

È chiaro quindi che ricordare bene le formule permette di individuare velocemente le condizioni necessarie per portare a casa l'esercizio. 

Per concludere ti rimando alla scheda di esercizi svolti sulla parabola e, in caso di necessità, al tool per studiare la parabola online. ;)

Domande della categoria Wiki - Geometria Analitica
Esercizi simili e domande correlate