Soluzioni
  • La retta direttrice di una parabola è la retta che, in accordo con la definizione, ha da ciascun punto P della parabola la stessa distanza che tale punto presenta rispetto al fuoco della parabola F.

    L'equazione della direttrice di una parabola si calcola con una formula semplicissima, che però varia a seconda che la parabola considerata presenti l'asse di simmetria verticale o orizzontale.

    Nella pratica bisogna controllare com'è fatta l'equazione della parabola e procedere di conseguenza.

    1) Se l'asse di simmetria è verticale, cioè la parabola ha un'equazione del tipo:

    y=ax^2+bx+c

    la sua direttrice sarà la retta di equazione:

    \\ y=-\frac{1+\Delta}{4a}\ \ \ \mbox{dove} \ \Delta=b^2-4ac

    2) Se la parabola ha asse di simmetria orizzontale, ossia siamo di fronte ad un'equazione del tipo:

    x=ay^2+by+c

    allora l'equazione della retta direttrice è data da

    x=-\frac{1+\Delta}{4a}\ \ \ \mbox{dove} \ \Delta=b^2-4ac

    Come si può notare dalle formule e dalle equazioni appena scritte, la direttrice è una retta perpendicolare all'asse di simmetria della parabola:

    - asse verticale → direttrice orizzontale;

    - asse orizzontale → direttrice verticale.

    Esempi di calcolo dell'equazione della retta direttrice

    1) Applichiamo quanto appena visto alla parabola di equazione y=x^2+5x+4

    Siamo nel caso di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, e con coefficienti

    a=1, \ b=5, \ c=4

    Sappiamo in partenza che la direttrice deve essere orizzontale, dal momento che l'asse è verticale. Applichiamo la relativa formula

    y=-\frac{1+\Delta}{4a}=-\frac{1+(b^2-4ac)}{4a}=-\frac{1+(25-16)}{4}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}

    Pertanto la retta direttrice ha equazione:

    y=-\frac{5}{2}

    2) Calcolare l'equazione della direttrice della parabola x=-2y^2-5.

    Poiché la parabola ha l'asse parallelo all'asse x, ed ha coefficienti

    a=-2,\ b=0,\ c=-5

    la relativa formula è

    \\ x=-\frac{1+\Delta}{4a}=-\frac{1+b^2-4ac}{4a}=\\ \\ \\ =-\frac{1+0-4\cdot (-2)\cdot (-5)}{4\cdot (-2)}=-\frac{1-40}{-8}=-\frac{39}{8}

    e l'equazione della retta direttrice è

    x=-\frac{39}{8}

    Per approfondire puoi dare uno sguardo agli esercizi svolti sulla parabola ed eventualmente correggere i risultati dei tuoi problemi con il tool per risolvere la parabola online. ;)

    Risposta di Galois
 
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