Soluzioni
  • Il centro di una circonferenza è il punto rispetto al quale tutti i punti della circonferenza presentano la medesima distanza, detta raggio. Esistono diverse formule che permettono di calcolare le coordinate del centro a partire dall'equazione.

    In generale per calcolare le coordinate del centro di una circonferenza è sufficiente conoscere l'equazione della circonferenza e ricorrere a specifiche formule a seconda della forma con cui essa si presenta.

    L'equazione di una circonferenza può essere scritta in due modi equivalenti:

    x^2+y^2+ax+by+c=0

    in questo caso puoi determinare il centro della circonferenza usando le formule per le coordinate

    x_C=-\frac{a}{2}\ \ \ ;\ \ \ y_C=-\frac{b}{2}

    L'altra forma con cui si puoi presentare l'equazione è

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    e in questo caso hai già di fronte a te le coordinate del centro

    C=(x_C,y_C)

    Tutte queste formule sono presentate nel dettaglio, insieme a molte altre, nel formulario sulla circonferenza.

    In sintesi, nel primo caso puoi applicare direttamente le formule oppure, se non te le ricordi, puoi completare i quadrati e ricondurti alla seconda forma per ricavare le coordinate direttamente.

    Vorrei sottolineare che in certi casi potresti evitare di ricavare l'equazione per determinare le coordinate del centro della circonferenza, ma non è possibile stabilire il metodo più veloce in un colpo solo e in tutti i casi possibili. Tutto dipende dai dati che hai a disposizione.

    Ad ogni modo qui su YM puoi trovare tantissimi esercizi svolti che puoi reperire mediante la barra di ricerca interna. Puoi partire dalla scheda di esercizi risolti sulla circonferenza.

    Esempio di calcolo delle coordinate del centro della circonferenza

    Consideriamo la circonferenza di equazione

    x^2+y^2+4x-6y+7=0

    Possiamo usare subito le formule per le coordinate del centro

    \\ x_C=-\frac{4}{2}=-2\\ \\ y_C=-\frac{-6}{2}=3

    e qui avremmo già finito. Se ci ricordiamo la formula per il raggio della circonferenza

    \\ r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}=\\ \\ =\sqrt{\frac{4^2}{4}+\frac{(-6)^2}{4}-7}=\sqrt{4+9-7}=\sqrt{6}

    allora possiamo scrivere l'equazione della circonferenza noti il centro ed il raggio

    \\ (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\\ \\ (x-(-2))^2+(y-3)^2=6\\ \\ (x+2)^2+(y-3)^2=6

    e sviluppare i calcoli per verificare la correttezza dei risultati ottenuti. Se torniamo alla forma originaria dell'equazione, è tutto corretto.

    Sviluppiamo i conti con la regola per il quadrato di un binomio

    x^2+4x+4+y^2-6y+9=6

    da cui ricaviamo

    x^2+y^2+4x-6y+7=0

    Tutto ok. :)

    Come secondo esempio sul centro della circonferenza possiamo usare l'equazione data inizialmente e ricavarne l'equazione noti centro e raggio, per poi leggere comodamente le coordinate del centro.

    x^2+y^2+4x-6y+7=0

    Riordiniamola

    x^2+4x+...+y^2-6y+...+7=0

    Completiamo i quadrati facendo riferimento ai doppi prodotti

    x^2+4x+4\ -4\ +y^2-6y+9\ -9\ +7=0

    ossia

    (x+2)^2\ -4\ +(y-3)^2\ -9\ +7=0

    Sommiamo i resti dei completamenti

    (x+2)^2+(y-3)^2=6

    da cui si vede subito che il centro ha coordinate C=(-2,3).

     

    Un suggerimento: se vuoi verificare l'esattezza dei risultati degli esercizi che devi svolgere per conto tuo, puoi servirti del tool per risolvere la circonferenza online. ;)

    Risposta di Omega
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