Soluzioni
  • Ciao Xavier310, un attimo di pazienza e ti rispondo.

    Risposta di Omega
  • Diciamo che non è un concetto importante, è un concetto essenziale.

    Occhio che, per chi non ha confidenza con la nozione di indipendenza lineare, la definizione è molto sottile.

    Due vettori v,w si dicono linearmente indipendenti nel caso in cui, ponendo

    av+bw=0

    con a,b due scalari (numeri) l'uguaglianza è verificata se e solo se a=0=b (tutti e due!).

    Due vettori v,w si dicono linearmente dipendenti nel caso in cui, ponendo

    av+bw=0

    esistono due scalari non entrambi nulli tali da soddisfare l'uguaglianza.

     

    Per quanto riguarda il significato geometrico osserva che due vettori linearmente dipendenti sono uno multiplo dell'altro, infatti dato che a,b non sono contemporaneamente nulli dall'uguaglianza segue

    v=-\frac{b}{a}w

    ed è fondamentale che non siano contemporaneamente nulli: questo garantisce infatti che si possa dividere per a.

    Dunque, essendo l'uno il multiplo dell'altro, sono vettori che stanno sulla stessa retta.


    Se invece di due vettori ne consideri N, allora potrai sempre esprimere ognuno di questi vettori come combinazione lineare di tutti gli altri, che dal punto di vista geometrico vuol dire: il vettore appartiene allo spazio generato dagli altri vettori. proprio come nel caso di due vettori un vettore appartiene allo spazio generato dall'altro vettore = una retta.

     

    Un esempio grafico? Disegna la retta y=x e prendi i vettori che congiungono i punti (0,0),(1,1) e (4,4)(8,8). Sono linearmente dipendenti!

    Un esempio analitico? Dai: facciamo due.

    1) (1,0,0) e (0,0,1) sono due vettori linearmente indipendenti

    2) (1,1,1,1) e (2,2,2,2) e (3,3,3,3) sono linearmente dipendenti.

    Problema risolto?

    Namasté - Agente \Omega

     

     

    Risposta di Omega
  • Quindi vettori linearmente indipendenti non sono generati dalla combinazione lineare di altri vettori? Dal punto di vista grafico i vettori linearmente dipendenti stanno si trovano sulla stessa retta mentre quelli linearmente indipendenti formano una base?

    (Ho un tantino di confusione in testa essendo una argomento totalmente nuovo che sto affrontando all'università)

    Risposta di xavier310
  • Per la prima, se intendi che non esistono in assoluto altri vettori che li generano, la risposta è no. Se invece intendi che non è possibile scrivere uno dei vettori dell'insieme come combinazione lineare dei restanti vettori dell'insieme, la risposta è sì.

    Per la seconda la risposta è sì.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • E quindi quanti vettori linearmente indipendenti possono esserci in uno spazio R3?

    Perchè?

    Risposta di xavier310
  • Al più la dimensione dello spazio, che per definizione è il numero di elementi di una base dello spazio, perchè la base di uno spazio è per definizione un sistema massimale di elementi linearmente indipendenti. Quindi 3.

    Risposta di Omega
  • Quali sono quindi i due vettori linearmente indipendenti in R2? Se non chiedo troppo puoi dimostrarmi perchè?

    Risposta di xavier310
  • Occhio: ti dico quali sono due vettori, non quali sono ->i<- due vettori.

    Un esempio è dato dai due vettori della base canonica

    (1,0) e (0,1)

    che sono linearmente indipendenti, infatti se poniamo

    a(1,0)+b(0,1)=(a,b)=(0,0) se e solo se a=0=b.

    Risposta di Omega
  • Perchè poniamo 

    a(1,0)+b(0,1)=(a,b)=(0,0) se e solo se a=0=b ?

    Risposta di xavier310
  • Perchè dobbiamo verificare se il sistema di vettori è linearmente indipendente. Prova a rileggere la definizione... ("Aaaah, ok!") Laughing

    Risposta di Omega
  • Surprised Si hai ragione :) ti ringrazio della pazienza. Mi hai tolto un sacco di dubbi

    Risposta di xavier310
  • Quando vuoi Xavier, siamo a disposizione! Wink

    Risposta di Omega
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Algebra Lineare