Soluzioni
  • Gli invarianti per similitudine principali sono:

    - il rango;

    - gli autovalori;

    - il determinante;

    - la traccia.

    Sussiste infatti il seguente teorema: siano A,B\in \mathbb{R}^{n\times n} due matrici quadrate, se le due matrici sono simili allora:

    \bullet\,\, \mbox{rank}(A) = \mbox{rank}(B) (le due matrici hanno lo stesso rango)

    \bullet\,\, \mbox{det}(A) =\mbox{det}(B) (le due matrici hanno lo stesso determinante)

    \bullet\,\, \mbox{Tr}(A) =\mbox{Tr}(B) (le due matrici hanno la stessa traccia)

    \bullet\,\,\Lambda_A=\Lambda_B (hanno lo stesso spettro degli autovalori)

    La contronominale di questo teorema è molto utile per dire che due matrici non sono simili. E' sufficiente che almeno una delle tre condizioni non  sia verificata per asserire che le due matrici non sono simili. Attenzione però! Esistono coppie di matrici che hanno la stessa traccia, lo stesso determinante, lo stesso rango e lo stesso spettro di autovalori, ma non sono simili, ad esempio:

    A = \begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}\quad I= \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}

    Non esiste alcuna matrice invertibile M tale che:

    M^{-1}I  M=A

    Infatti M^{-1}I M=M^{-1}M = I\ne A.

    Risposta di Ifrit
 
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