Potenze negative
Come si calcolano le potenze negative? So bene come calcolare le potenze con base ed esponente positivi, ma quando subentra il segno meno non so più cosa fare e mi blocco.
Potreste fare una panoramica completa di tutti i metodi con cui si calcolano le potenze negative, e proporre qualche esempio?
Nello specifico vorrei sapere come si risolvono le potenze con base negativa, quelle con esponente negativo e quelle con base ed esponente entrambi negativi.
Per calcolare le potenze negative si usano approcci diversi a seconda che il segno meno sia presente nella base oppure nell'esponente. Le potenze con base negativa si calcolano con la definizione di potenza, quelle con esponente negativo si calcolano passando al reciproco della base.
Tra un attimo vedremo come procedere a seconda dei casi, ma prima è necessaria una precisazione.
Per definizione una potenza è un'espressione della forma an. Di conseguenza, in termini formali, una potenza negativa è una potenza preceduta dal segno meno, ossia un potenza del tipo -an.
Ciononostante si è soliti chiamare potenze negative anche le potenze con esponente negativo (a-n), quelle con base negativa ((-a)n) e quelle con base ed esponenti negativi ((-a)-n).
L'importante è capirsi e non lasciare spazio a fraintendimenti. ;)
Potenze con base negativa
Siano a un numero qualsiasi e n un numero naturale. La potenza è un'operazione matematica che alla coppia di numeri a e n, detti rispettivamente base ed esponente, associa il numero an dato dal prodotto di n fattori tutti uguali ad a.
Se la base è negativa (a<0) non cambia nulla: per calcolare una potenza con base negativa si moltiplica la base per se stessa tante volte quante indicate dall'esponente.
Fin qui nessun problema, ma un errore piuttosto comune è quello di sbagliare il segno del risultato. Per non commettere errori basta ricordarsi della regola dei segni per le moltiplicazioni:
• più per più fa più: (+) × (+) = +
• più per meno fa meno: (+) × (-) = -
• meno per più fa meno: (-) × (+) = -
• meno per meno fa più: (-) × (-) = +
Da essa si deduce che:
- se l'esponente n è un numero pari, allora il risultato della potenza è un numero positivo. Possiamo infatti formare coppie di segni meno che, moltiplicate tra loro, danno tutti segni +.
- Se l'esponente n è un numero dispari, allora il risultato della potenza è un numero negativo. Dopo aver formato le varie coppie di segni meno (che moltiplicate tra loro danno tutti segni +) ci sarà un segno meno che avanza, e più per meno fa meno.
Vediamo qualche esempio.
• 
La base è negativa. Poiché l'esponente (3) è un numero dispari, il risultato è un numero negativo
Calcoliamo la potenza 23 moltiplicando la base (2) tre volte per se stessa
In alternativa avremmo potuto applicare direttamente la definizione di potenza, e quindi moltiplicare direttamente la base tre volte per se stessa
Svolgiamo la prima moltiplicazione, e successivamente moltiplichiamo il risultato per il fattore (-2) in avanzo
• 
Qui l'esponente è un numero pari (4), dunque il risultato è un numero positivo:
Se scegliamo di usare direttamente la definizione di potenza arriviamo alla stesso risultato, ma con qualche calcolo in più:
Per altri esempi: potenza di un numero negativo - click!
Potenze con esponente negativo
La definizione di potenza si estende anche il caso in cui l'esponente è un numero intero negativo (n<0). Una potenza con esponente negativo equivale a una potenza che ha come base il reciproco della base e come esponente l'opposto dell'esponente.
Ecco qualche esempio:
• 
Passiamo al reciproco della base e cambiamo il segno all'esponente
La potenza di una frazione è una frazione che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore
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Eliminiamo il segno meno dall'esponente passando al reciproco della frazione che definisce la base della potenza
e calcoliamo la potenza
Potenze con base ed esponente negativi
Per calcolare una potenza con base ed esponenti negativi ((-a)-n) bisogna ricondursi dapprima alla rispettiva potenza con esponente positivo e, successivamente, calcolare la potenza con base negativa.
Con un paio di esempi sarà tutto più chiaro.
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Passiamo al reciproco della base ed eliminiamo il segno meno dall'esponente
• 
Togliamo il segno meno dall'esponente passando al reciproco della base
Calcoliamo la potenza con base negativa: poiché l'esponente è dispari, il risultato è un numero negativo
Infine, per com'è definita la potenza di una frazione
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Se vuoi approfondire puoi leggere la nostra lezione sulle potenze, dove trovi una panoramica completa di tutti i tipi di potenze e dei relativi metodi per calcolarle.
Ti segnaliamo anche la lezione sulle proprietà delle potenze e il tool per il calcolo delle potenze online.