Centro di una circonferenza circoscritta a un triangolo

Il centro della circonferenza circoscritta a un triangolo si chiama circocentro ed è un punto notevole del triangolo; il circocentro infatti è il punto di incontro dei tre assi dei lati del triangolo.

Ecco un'immagine che raffigura gli assi di un triangolo, che sono gli assi dei segmenti che corrispondono ai suoi lati. Come possiamo vedere i tre assi si incontrano in uno stesso punto, che coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Circocentro come centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Circocentro, circonferenza circoscritta e assi dei lati del triangolo

Consideriamo un triangolo qualsiasi di vertici e dimostriamo che gli assi dei suoi lati passano per uno stesso punto che corrisponde al centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Tracciamo gli assi dei lati e , ossia le rette passanti per il punto medio di ciascun lato e perpendicolari al lato stesso.

Uno dei tanti corollari del criterio di parallelismo tra rette stabilisce che rette perpendicolari a rette incidenti sono rette incidenti, dunque i due assi si incontrano in uno stesso punto, che chiamiamo .

Disegniamo poi i segmenti .

L'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso, per cui:

- se un punto appartiene all'asse di un segmento, allora tale punto ha la stessa distanza da entrambi gli estremi del segmento;

- se un punto è tale da avere la stessa distanza dagli estremi di un segmento, allora tale punto appartiene all'asse.

Poiché è un punto dell'asse del segmento , si ha che

Analogamente poiché appartiene all'asse del segmento , si ha che

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza

Da ciò segue che ha la stessa distanza dagli estremi del segmento , e quindi appartiene all'asse di .

Abbiamo così dimostrato che gli assi si incontrano in uno stesso punto . Rimane da provare che è il centro della circonferenza circoscritta.

Disegniamo la circonferenza di centro e raggio . Essa passa per i vertici , essendo .

La circonferenza circoscritta a un poligono è definita come la circonferenza che passa per tutti i vertici del poligono, per cui è proprio il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Fine!

Posizione del circocentro

La posizione del circocentro, intesa come interna o esterna al triangolo, dipende dal tipo di triangolo considerato. Il circocentro è:

- esterno nel caso dei triangoli ottusangoli;

- interno nel caso dei triangoli acutangoli;

- situato sul punto medio dell'ipotenusa nel caso dei triangoli rettangoli.

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Per approfondire puoi leggere la lezione sui punti notevoli del triangolo.

Se invece vuoi sapere cos'è il centro della circonferenza inscritta in un triangolo - click!