Soluzioni
  • Con trinomio particolare si intende un polinomio di grado due che si presenta nella forma:

    x^2+sx+p

    dove s e p sono numeri interi.

    Il polinomio in questione ha per coefficiente numerico di x^2 pari ad uno (è un polinomio monico). Il nostro obiettivo sarà quello di determinare due numeri interi a,b tali che la loro somma coincida con s, mentre il loro prodotto coincida con p.

    Ciò ci rimanda ad un sistema:

    \begin{cases}a+b= s\\ a b= p\end{cases}

    Una volta trovati i valori a e b potremo scrivere:

    x^2+ sx+p= (x+a)(x+b)

    Giustificazione della regola per il trinomio particolare

    Vediamo perché funziona: se supponiamo che s=a+b,\ p= a\cdot b, allora il polinomio 

    x^2+ sx+p

    si riscrive come:

    x^2+ (a+b)x+ ab

    Effettuiamo la moltiplicazione tra a+b e x:

    x^2+ a x+ bx+ ab

    Adesso raccogliamo parzialmente x tra i primi due addendi e b tra gli ultimi due addendi (nel caso servisse ecco la lezione sul raccoglimento parziale)

    x(x+a)+b(x+a)

    ed effettuiamo un raccoglimento totale su x+a

    (x+a)(x+b)

    Abbiamo così dimostrato che se esistono due numeri interi a,b tali che a+b=s,\ a b= p, allora il trinomio particolare si fattorizza come: 

    x+s x+ p= (x+a)(x+b)\quad(\heartsuit)

    Esempio sul trinomio particolare

    x^2+3x+2

    È un trinomio particolare, infatti:

    • il coefficiente di x^2 è 1.

    • s=3

    p=2

    Dobbiamo determinare due numeri a e b che hanno per somma 3 e per prodotto 2.

    Nulla ci vieta di procedere con la risoluzione del sistema che abbiamo visto sopra, o di procedere per tentativi, ma la verità è che facendo esercizi su esercizi si impara a determinare i due numeri richiesti ad occhio.

    Qui ad esempio notiamo che il prodotto è positivo e dunque a e b sono numeri concordi, ovvero hanno lo stesso segno. Con un minimo ragionamento si capisce subito che i numeri sono a=1\mbox{ e } b=2, infatti:

    a+b= 1+2= 3= s,

    mentre

    ab= 1\cdot 2= 2= p

    Il nostro compito è finito: utilizzando la relazione (\heartsuit) otteniamo la scomposizione del trinomio particolare

    x^2+ 3 x+ 2= (x+1)(x+2)

    Un altro esempio sul trinomio particolare

    Consideriamo il polinomio x^2-2x-8

    • esso è un polinomio monico.

    s=-2

    p=-8

    Il prodotto p=-8 è negativo, quindi i due numeri saranno discordi e avranno segno diverso. Un possibile coppia di valori sono a= -2\mbox{ e }b= 4, infatti il loro prodotto è -8, ma attenzione: la loro somma è

    a+b=-2+4=2\neq -2

    e non è la somma di cu abbiamo bisogno. Proviamo quindi con a=-4\mbox{ e }b=2. Il prodotto continua ad essere -8 e la somma è -2. Abbiamo trovato i numeri di cui avevamo bisogno!

    x^2-2x-8= (x-4)(x+2)


    Se vuoi consultare altri esempi e vedere come si estende la regola al caso di polinomi con coefficiente di grado massimo diverso da 1, ti rimando alla lezione sul trinomio notevole con somma e prodotto, mentre se vuoi verificare i risultati dei tuoi esercizi puoi sempre servirti del tool per la scomposizione di polinomi online. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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