Soluzioni
  • Lo span di un sistema di vettori \{v_1,v_2,...,v_n\} in uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K} è il sottospazio vettoriale generato dai vettori dell'insieme. In parole povere lo span

    Span(\{v_1,v_2,...,v_n\})

    è il sottospazio che ammette come un sistema di generatori l'insieme di vettori, ossia è il sottospazio di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori dell'insieme.

    In simboli

    Span(\{v_1,v_2,...,v_n\})=\{a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n\mbox{ t.c. }a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{K}\}

    In particolare l'insieme di vettori che genera lo span è sempre per definizione un sistema di generatori: può essere una base del sottospazio?

    Dipende: se i vettori sono linearmente indipendenti, allora costituisce anche una base dello span. Se i vettori sono linearmente dipendenti non costituisce una base dello span, ma possiamo sempre ricavare una base dal sistema di generatori dato.

    Esempio

    Prendiamo il sottospazio U\subset\mathbb{R}^2 dato dallo span del vettore

    v_1=(2,0)

    dunque

    U=span((2,0))=\{a(2,0)\mbox{ t.c. }a\in\mathbb{R}\}

    In quasto esempio lo span è il sottospazio di tutti e soli i vettori della forma (2a,0) al variare di a\in\mathbb{R}, cioè la retta passante per l'origine degli assi e avente direzione (2,0).

    Nota che qualsiasi vettore della forma (c,0), preso singolarmente, costituisce una base dello span. Ad esempio sono basi di tale sottospazio \{(1,0)\} oppure \{(-48,0)\}.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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