Insieme con potenza del continuo

Si dice che un insieme ha la potenza del continuo se è possibile determinare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme stesso e l'insieme dei numeri reali.

La definizione di insieme con potenza del continuo è semplice da enunciare, ma c'è una serie di implicazioni teoriche da prendere in considerazione che sono piuttosto delicate, per cui qui mi limito allo stretto indispensabile per poi rimandarti ad un approfondimento in cui spieghiamo tutto nel dettaglio.

In accordo con la definizione, un insieme ha la potenza del continuo se e solo se è equipotente all'insieme , ossia esiste almeno una corrispondenza biunivoca

vale a dire se esiste almeno una applicazione tra che associa ad ogni elemento uno ed un solo elemento e che, viceversa, ad ogni elemento fa corrispondere uno ed un solo elemento .

Per indicare che un insieme ha la potenza del continuo possiamo utilizzare la seguente simbologia

dove con intendiamo la cardinalità del continuo.

Esempio

L'intervallo è un insieme con potenza del continuo.

Per vederlo basta considerare una qualsiasi biezione tra e , come ad esempio:

L'applicazione è certamente una biezione (come chiunque abbia già studiato le funzioni può facilmente dimostrare) e ciò prova che i due insiemi sono equipotenti. Per esprimere questo fatto possiamo ricorrere alla notazione

Con questo è tutto: per approfondire puoi leggere la lezione sulla potenza dell'insieme dei numeri reali. ;)