Soluzioni
  • Il numero e, detto anche numero di Nepero o ancora numero di Eulero, è un numero irrazionale e in quanto tale ha infinite cifre decimali che si susseguono uno dietro l'altra senza alcuna regolarità.

    Insieme al Pi Greco, il numero di Nepero è una delle più importanti costanti matematiche e vale

    e=2,71828 \ 18284\ 59045 \ 23536 ...

    A causa della sua irrazionalità, non possiamo riportare tutte le sue infinite cifre decimali, e in molti casi non è nemmeno utile ricordarne tante. Solitamente usiamo l'approssimazione di e arrestata alla seconda cifra decimale

    e\simeq 2,72

    Nel caso in cui avessimo bisogno di un numero maggiore di cifre decimali, possiamo ricorrere a una semplice filastrocca:

    Ai modesti o vanitosi,

    ai violenti o timorosi,

    do, cantando gaio ritmo,

    logaritmo...

    Se contiamo le lettere di ogni parola e riportiamo le cifre una dietro l'altra ricaviamo le prime dieci cifre del numero e:

    e=2,718281828...

    Prime 1000, 2000, 5000, 10000 cifre del numero di Nepero

    Se volete sapere quali sono le prime N cifre del numero di Nepero, con N a vostra scelta, potete fare affidamento al seguente tool. Attenzione a non esagerare con il numero di cifre decimali di e, o il tool online potrebbe protestare. ;)

    (Su smartphone: usare il dispositivo orizzontalmente)

    Per scaricare l'output: tasto destro sull'immagine → "Salva con nome".

    Principali utilizzi del numero di Nepero

    La costante di Nepero ricopre un ruolo di primo piano in tutti i contesti della Matematica: è grazie a essa che riusciamo a definire la funzione esponenziale

    f(x)=e^{x}

    la cui caratteristica principale consiste nel fatto che la sua derivata coincide con l'esponenziale stessa (per approfondire: derivata dell'esponenziale)

    f'(x)=\frac{d}{dx}[e^{x}]=e^{x}=f(x)

    Il numero di Nepero è inoltre intimamente legato alla nozione di logaritmo naturale, vale a dire il logaritmo con base e, indicato solitamente con \ln(x) o con \log(x)

    \ln(x)\ \to\ \log_{e}(x)

    e definito come l'operatore inverso dell'esponenziale y=e^x.

    La caratteristica principale delle funzioni esponenziali è il motivo per cui ritroviamo il numero di Nepero anche nel contesto delle equazioni differenziali, e consente di descrivere elegantemente diversi modelli fisici, economici e ingegneristici. Vediamo qualche esempio.

    1) Il modello di Malthus per lo studio della dinamica delle popolazioni. Sotto opportune ipotesi, il modello di Malthus consente di determinare il numero di individui di una popolazione in un generico istante di tempo t ed è descritto mediante l'equazione differenziale lineare del primo ordine

    N'(t)=k N(t)

    dove N(t) indica il numero di individui al variare di t, mentre k è il cosiddetto potenziale biologico della popolazione, definito come la differenza tra il tasso di natalità e il tasso di mortalità.

    Fissato k\in\mathbb{R}, l'equazione differenziale è soddisfatta dalla famiglia di funzioni:

    N(t)=N_0e^{k t}

    dove N_0 è il numero di individui della popolazione al tempo iniziale t=0.

    2) Nell'ambito dei numeri complessi, il numero neperiano compone, insieme alle costanti matematiche 0, 1, l'unità immaginaria i e Pi Greco, una delle formule matematiche più affascinanti di sempre: l'identità di Eulero

    e^{i\pi}+1=0

    Non meno importante è l'identità di Eulero nella sua forma generale, detta anche formula di Eulero

    e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\ \ \ \mbox{per ogni}\ \theta\in\mathbb{R}

    che mette in risalto il profondo legame tra la costante neperiana e le funzioni goniometriche.

    Definizione formale del numero di Nepero e

    La definizione del numero di Nepero richiede concetti e teoremi di Analisi Matematica, più precisamente abbiamo bisogno della teoria delle successioni numeriche.

    Definiamo il numero di Nepero a partire dal limite della successione

    (a_n)_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}

    vale a dire

    e:=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

    dove := è il simbolo matematico che significa uguale per definizione.

    L'esistenza del limite è garantita dal teorema sui limiti di successioni monotone, mentre la finitezza è assicurata dalla limitatezza della successione  (a_n)_{n\in\mathbb{N}-\{0\}}

    Si può dimostrare infatti che (a_n)_{n\in\mathbb{N}-\{0\}} è sia una successione monotona strettamente crescente, sia una successione limitata (per chi fosse interessato: dimostrazione del limite del numero di Nepero).

    Un'ulteriore caratterizzazione della costante neperiana coinvolge la teoria delle serie numeriche: essa può essere definita come la somma della serie

    e:=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+...+\frac{1}{n!}+...

    dove n! è il fattoriale di n. Osserviamo che la serie converge sicuramente in forza del criterio del rapporto.

    Chiaramente le due definizioni sono del tutto equivalenti, ma dimostrarlo non è affatto immediato: eviteremo di riportare la dimostrazione in questa occasione.

    Un po' di storia della costante di Nepero

    Proponiamo un piccolo excursus storico dedicato alla costante di Nepero, in cui mettiamo in luce quale fu il problema originario che permise di definire la costante e.

    Sebbene in Italia e sia denominata costante di Nepero in onore del matematico scozzese Giovanni Nepero (latinizzazione di John Napier : 1550 - 1617) in realtà non fu lui a scoprirla. Il primo matematico che ne fa uso nelle sue opere fu Jacob Bernoulli (1654 - 1705). Nel 1683, egli cercò infatti di determinare il limite

    \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

    nell'intento di risolvere un problema di matematica finanziaria riguardante lo studio della capitalizzazione a interesse composto.

    Proponiamo il testo del problema in chiave moderna.

    Supponiamo di avere un capitale iniziale C pari a 1 €, con un tasso di interesse annuo i pari a 1 (in percentuale 100%). A fine anno il montante M sarà dato dalla relazione

    M=C(1+i)=1\cdot(1+1)=2\ \euro

    Se l'interesse venisse accreditato due volte durante l'anno, il tasso di interesse semestrale sarebbe

    i_{semestrale}=\frac{i}{2}=\frac{1}{2}

    e la formula per calcolare il montante nel regime di interesse composto diventerebbe

    M=C\left(1+i_{semestrale}\right)^{2}=1\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}\simeq 2,25\ \euro

    Se l'interesse venisse accreditato dodici volte durante l'anno, il tasso di interesse mensile sarebbe

    i_{mensile}=\frac{i}{12}=\frac{1}{12}

    e il montante si ricava mediante la formula

    M=C\left(1+i_{mensile}\right)^{12}=1\cdot\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\simeq 2.61 \ \euro

    Bernoulli si chiese cosa sarebbe successo se avesse calcolato il montante con frazioni di anno via via piccole, giungendo così alla domanda: quanto vale il limite

    \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ ?

    che è appunto una caratterizzazione della costante di Nepero.

    Sottolineiamo che non fu Bernoulli ad attribuire la lettera e alla costante matematica, bensì il matematico svizzero Leonhard Eulero (1707 - 1783) che la usò per primo nella sua opera Mechanica, un trattato di fisica sulla meccanica dei corpi. I motivi che lo spinsero a usare la quinta lettera dell'alfabeto per indicare la costante non sono noti: secondo lo storico matematico statunitense Carl Boyer (1906 - 1976) e è molto banalmente l'iniziale della parola esponenziale.

    Curiosità - Euler's Day

    Probabilmente avrete già sentito nominare il Pi Greco Day, ma potreste non conoscere l'Euler's Day - quello che noi chiameremmo Nepero Day. Il principio è sempre lo stesso: si tratta di scrivere le prime cifre decimali del numero di Eulero

    e=2,72...

    e di individuare un giorno che, nel formato anglosassone per indicare le date, le richiami: MM/DD/AAA (mese/giorno/anno). Poiché non il 72 non corrisponde ad alcun giorno, si è convenuto di considerare

    e=2,7...

    e dunque di attribuire al 7 febbraio la festività del numero di Nepero :)

    2/7/...

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra