Quoziente di due potenze

Il quoziente di due potenze è il risultato della divisione tra potenze e si calcola in modi diversi a seconda che le potenze abbiano la stessa base, oppure lo stesso esponente, oppure basi ed esponenti diversi.

Procediamo con ordine e analizziamo i tre casi, uno alla volta.

Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di due potenze con la stessa base è uguale alla base elevata alla differenza degli esponenti, ossia vale la formula

Dimostrazione della formula per il quoziente di potenze con la stessa base

Dando per buona la regola per il prodotto di due potenze con la stessa base, e ricordando come sono definite le potenze con esponente negativo, possiamo scrivere

Esempi sul quoziente di potenze con la stessa base

1) Se vogliamo calcolare il rapporto di potenze

possiamo fare i conti a mano e calcolare le due potenze separatamente, per poi determinare il quoziente

In alternativa possiamo usare la regola del quoziente di potenze, perché numeratore e denominatore sono potenze con la stessa base

2) La regola funziona anche con potenze con esponente negativo, solo che in questo caso dobbiamo fare attenzione alla regola dei segni quando scriviamo la differenza degli esponenti

3) La proprietà funziona anche con potenze con esponente fratto...

4) ... E con le potenze di frazioni

Quoziente di potenze con basi diverse e stesso esponente

Se ci troviamo di fronte a un rapporto di due potenze con basi diverse non possiamo dire nulla a priori.

L'unico caso in cui possiamo applicare una regola è quello in cui le potenze hanno lo stesso esponente: il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente

Dimostrazione della formula per il quoziente di potenze con lo stesso esponente

Applichiamo la definizione di potenza e riscriviamo il rapporto come prodotto di rapporti (nient'altro che una moltiplicazione tra frazioni)

Esempio sul quoziente di potenze con lo stesso esponente

Un rapido esempio che mette in mostra l'utilità di tale proprietà. Se volessimo calcolare

potremmo sviluppare le due potenze separatamente per poi calcolarne il rapporto, ma avremmo a che fare con numeri piuttosto scomodi. D'altra parte, poiché le due potenze hanno lo stesso esponente, possiamo scrivere

da qui possiamo calcolare il rapporto e la relativa potenza

Da notare che questa regola è l'inverso della proprietà per le potenze di frazioni, secondo cui la potenza di una frazione è uguale al rapporto tra la potenza del numeratore e quella del denominatore. Per capirlo basta leggere la formula al contrario, da destra verso sinistra.

Quoziente di potenze con basi diverse ed esponenti diversi

Nel caso generale, ossia per calcolare il quoziente con basi ed esponenti diversi, l'unica cosa che possiamo cercare di fare (ammesso che sia possibile farlo) è scomporre le basi nel prodotto di numeri primi e semplificare il più possibile i fattori che hanno la stessa base.

Ad esempio:

A numeratore usiamo la proprietà per la potenza di un prodotto; a denominatore applichiamo la regola per le potenze di potenze

***

Per approfondire raccomandiamo di leggere la spiegazione completa con tutte le proprietà delle potenze, e nel caso servisse di usare il tool per risolvere le potenze online, utile per verificare i risultati degli esercizi svolti in autonomia. ;)