Soluzioni
  • Per calcolare il quoziente di due potenze con la stessa base possiamo usare una famosissima proprietà, secondo cui il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale alla base elevata alla differenza degli esponenti.

    La formula per il rapporto di due potenze con la stessa base è la seguente:

    \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\ \ \ (a\neq 0)

    Dimostrazione

    Dando per buona la regola per il prodotto di due potenze con la stessa base, e ricordando come sono definite le potenze con esponente negativo, possiamo scrivere

    \frac{a^n}{a^m}=a^n\cdot \frac{1}{a^m}=a^n\cdot a^{-m}=a^{n+(-m)}=a^{n-m}

    Esempi sul quoziente di potenze con la stessa base

    1) Se vogliamo calcolare il rapporto di potenze

    \frac{2^5}{2^2}

    possiamo fare i conti a mano e calcolare le due potenze separatamente, per poi determinare il quoziente

    \frac{2^5}{2^2}=\frac{32}{4}=8

    In alternativa possiamo usare la regola del quoziente di potenze, perché numeratore e denominatore sono potenze con la stessa base

    \frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3=8

    2) La regola funziona anche con potenze con esponente negativo, solo che in questo caso dobbiamo fare attenzione alla regola dei segni quando scriviamo la differenza degli esponenti

    \frac{7^{5}}{7^{-3}}=7^{5-(-3)}=7^{5+3}=7^{8}

    3) La proprietà funziona anche con potenze con esponente fratto...

    \frac{10^{\tfrac{1}{2}}}{10^{\tfrac{1}{3}}}=10^{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}}=10^{\tfrac{3-2}{6}}=10^{\tfrac{1}{6}}

    4) ... E con le potenze di frazioni

    \frac{\left(\tfrac{2}{3}\right)^{6}}{\left(\tfrac{2}{3}\right)^3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{6-3}=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}

    Quoziente di potenze con basi diverse e stesso esponente

    Se ci troviamo di fronte a un rapporto di due potenze con basi diverse non possiamo dire nulla a priori.

    L'unico caso in cui possiamo applicare una regola è quello del quoziente di potenze con lo stesso esponente: possiamo infatti applicare la seguente formula

    \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\ \ \ (b\neq 0)

    Dimostrazione

    Applichiamo la definizione di potenza e riscriviamo il rapporto come prodotto di n rapporti (nient'altro che una moltiplicazione tra frazioni)

    \frac{a^n}{b^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot ...\cdot b}_{n\mbox{ volte}}}=\overbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot ...\cdot \frac{a}{b}}^{n\mbox{ volte}}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

    Esempio sul quoziente di potenze con lo stesso esponente

    Un rapido esempio che mette in mostra l'utilità di tale proprietà. Se volessimo calcolare

    \frac{49^3}{7^3}

    potremmo sviluppare le due potenze separatamente per poi calcolarne il rapporto, ma avremmo a che fare con numeri piuttosto scomodi. D'altra parte, poiché le due potenze hanno lo stesso esponente, possiamo scrivere

    \frac{49^3}{7^3}=\left(\frac{49}{7}\right)^3=

    da qui in poi possiamo calcolare il rapporto e la relativa potenza

    =\left(7\right)^3=7^3=343

    Da notare che questa regola è l'inverso della proprietà per le potenze di frazioni, secondo cui la potenza di una frazione è uguale al rapporto tra la potenza del numeratore e quella del denominatore. Per vederlo basta leggere la formula al contrario, da destra verso sinistra.

    \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\ \ \longleftrightarrow\ \ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

    Quoziente di potenze con basi diverse ed esponenti diversi

    Nel caso generale l'unica cosa che possiamo cercare di fare (ammesso che sia possibile farlo) è scomporre le basi nel prodotto di numeri primi e semplificare il più possibile i fattori che hanno la stessa base.

    Ad esempio:

    \frac{6^4}{9^3}=\frac{(2\cdot 3)^4}{(3^2)^3}=

    A numeratore usiamo la proprietà per la potenza di un prodotto; a denominatore applichiamo la regola per le potenze di potenze

    =\frac{2^4\cdot 3^4}{3^6}=2^4\cdot 3^{4-6}=2^4\cdot 3^{-2}=\frac{2^4}{3^2}=\frac{16}{9}

    ***

    Per approfondire raccomandiamo di leggere la spiegazione completa con tutte le proprietà delle potenze, e nel caso servisse di usare il tool per risolvere le potenze online, utile per verificare i risultati degli esercizi svolti in autonomia. ;)

    Risposta di Omega
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