Radice sotto un'altra radice

Giuseppe Carichino (Galois) -

Come si semplifica una radice sotto un'altra radice? Sto risolvendo degli esercizi sulla semplificazione dei radicali e molti di essi sono radici interne a un'altra radice o, addirittura, radici che stanno sotto più radici.

Finora non avevo mai visto nulla del genere e non so proprio cosa fare. Sapreste dirmi come si procede?

Cosa devo fare se la radice che sta sotto la radice principale ha dei fattori esterni?

Soluzione

Una radice sotto un'altra radice è uguale alla radice del radicando interno con indice dato dal prodotto degli indici, secondo la formula m√(n√a)=m·n√a. Più esplicitamente la radice n-esima di a sotto una radice m-esima si può riscrivere come radice di a con indice m·n.

[m]√(sqrt[n]a) = sqrt[m·n]a

Ecco qualche esempio.

• [3]√(sqrt[4]2)

Abbiamo la radice quarta di 2 sotto una radice con indice 3. Scriviamo il radicando interno (2) sotto un'unica radice, con indice dato dal prodotto degli indici delle due radici:

[3]√(sqrt[4]2) = sqrt[3·4]2 = sqrt[12]2

• √(√(6))

Qui abbiamo una radice quadrata, il cui indice è 2, sotto un'altra radice quadrata.

Lasciamo il radicando interno così com'è e moltiplichiamo tra loro gli indici

√(√(6)) = [2]√(sqrt[2]6) = sqrt[2·2]6 = [4]√(6)

• [6]√(sqrt[3](1)/(2))

Il procedimento è sempre lo stesso, indipendentemente dal tipo di radicando. Il risultato è quindi una radice che ha come radicando la frazione 1/2 e come indice il prodotto tra 6 e 3

[6]√(sqrt[3](1)/(2)) = sqrt[6·3](1)/(2) = sqrt[18](1)/(2)

Radice sotto più radici

La formula con cui si semplifica una radice sotto radice si estende anche al caso di una radice sotto più radici: una radice sotto più radici è uguale alla radice del radicando interno con indice dato dal prodotto di tutti gli indici.

sqrt[n_1] sqrt[n_2] ... sqrt[n_k]a = sqrt[n_1·n_2·...·n_k]a

Ecco un paio di esempi:

• √([3]√(√(3))) = sqrt[2·3·2]3 = sqrt[12]3

• [4]√(√(√(sqrt[3]21))) = sqrt[4·2·2·3]21 = sqrt[48]21

Radice con fattori esterni sotto un'altra radice

Un caso che si presenta spesso è quello in cui sono presenti dei fattori esterni a qualche radice, come ad esempio:

√(3√(2)) ; [3]√(5 sqrt[3]3) ; √(4[3]√(5√(2)))

In casi del genere prima di applicare la formula per la radice sotto radice si devono portare i fattori esterni all'interno della radice.

Per evitare di commettere errori ricordiamo che per portare un numero dentro radice non basta elevarlo all'indice della radice, ma bisogna prestare attenzione al segno da cui è preceduto e alla parità o disparità dell'indice.

Supponiamo che l'indice della radice sia n e indichiamo con a il numero da portare dentro radice. Per semplicità consideriamo a > 0.

Poiché una radice con indice pari ammette solo radicandi non negativi, abbiamo che:

(n pari, a > 0) a[n]√(b) = [n]√(a^n·b) ;-a[n]√(b) = -[n]√(a^n·b)

Una radice con indice dispari ammette invece radicandi di segno qualsiasi, per cui

(n dispari, a > 0) a[n]√(b) = [n]√(a^n·b) ;-a[n]√(b) = [n]√((-a)^n·b)

Anche in questo caso vediamo qualche esempio.

• √(3√(2))

Portiamo il fattore 3 dentro la radice quadrata: eleviamolo al quadrato e moltiplichiamolo per il radicando interno

√(3√(2)) = √(√(3^2·2)) = √(√(18)) =

Applichiamo poi la formula della radice sotto radice

= sqrt[2·2]18 = [4]√(18)

• [3]√(-2 sqrt[5]2)

Trasportiamo il fattore -2 dentro la radice quinta, svolgiamo i calcoli e applichiamo la regola per la semplificazione di una radice sotto radice

[3]√(-2 sqrt[5]2) = [3]√(sqrt[5](-2)^5·2) = [3]√(sqrt[5]-64) = sqrt[3·5]-64 = sqrt[15]-64 = - sqrt[15]64

***

È tutto, o quasi:

- per leggere altri esempi ti rimandiamo all'approfondimento sulla radice di una radice;

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