Soluzioni
  • Per eliminare il valore assoluto nei limiti puoi fare affidamento alla definizione di valore assoluto, o modulo. Come devi procedere? Semplicissimo, devi studiare il segno dell'argomento del valore assoluto, potrai scrivere che:

    |f(x)|= \begin{cases}f(x)&\mbox{ se }f(x)\ge 0\\ -f(x)&\mbox{ se }f(x)\,\textless\,0\end{cases}

    Scrivendo in modo esplicito il valore assoluto si mettono in chiaro anche quelli che in gergo matematico si chiamano punti di raccordo, sono quei punti in cui la funzione cambia la sua "espressione analitica". Il resto, diventerà una cosa molto standard :) 

    Proviamo a sviluppare l'esempio che riporti:

    1) grazie alla definizione di valore assoluto, scriviamo la funzione in modo esplicito, l'argomento in questo caso è f(x)= x-5

    |x-5|= \begin{cases}x-5&\mbox{ se }\color{red}x-5\ge 0\color{black}\\ -(x-5)&\mbox{ se }\color{blue}x-5\,\textless\, 0\color{black}\end{cases}

    Risolviamo le disequazioni che per l'occasione ho colorato in rosso e in blu.

    \color{red}x-5\ge 0\color{black}\implies x\ge 5

    \color{blue}x-5\,\textless 0\color{black}\implies x\,\textless\,5

    Abbiamo tutti gli ingredienti per esprimere esplicitamente la funzione:

    |x-5|= \begin{cases}x-5&\mbox{ se }x\ge 5\\ 5-x&\mbox{ se }x\,\textless\, 5\end{cases}

    2) Studiamo i limiti, utilizzando le tecniche classiche. L'unica accortezza che devi avere è capire quale dei due rami devi prendere in considerazione, e per capirlo dovrai osservare non solo a cosa tende la x, ma anche "da quale lato tende". 

    \lim_{x\to -\infty}|x-5|

    In questo limite x tende a meno infinito, dunque prima o poi x sarà minore di 5 e proprio per questo motivo:

    \lim_{x\to -\infty}5-x= +\infty

    Proviamo ad affrontare il secondo limite:

    \lim_{x\to 5^{-}}|x-5|

    In questo caso la x tende a 5 ma attenzione, per valori più piccoli di 5. Poichè x è minore di 5 allora dovremo prendere in considerazione il secondo ramo della funzione:

    \lim_{x\to 5^{-}}|x-5|=\lim_{x\to 5^{-}}5-x= 0

    Ora il terzo limite:

    \lim_{x\to 5^{+}}|x-5|

    La x tende a 5 ma questa volta lo fa per valori più grandi di 5, dovremo prendere in considerazione il primo ramo della funzione:

    \lim_{x\to 5^{+}}|x-5|= \lim_{x\to 5^{+}}x-5= 0

    Per questi due casi ti invito a leggere la lezione sulla definizione di limite finito per x che tende a un valore finito.

    Ora l'ultimo limite:

    \lim_{x\to +\infty}|x-5|

    x tende a più infinito, e nel suo "viaggiare", prima o poi supererà 5, dovremo prendere in considerazione il secondo ramo della funzione:

    \lim_{x\to +\infty}|x-5|= \lim_{x\to +\infty}x-5= +\infty

    Leggi la lezione sul valore assoluto di x, sarà certamente utile.

    Risposta di Ifrit
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