Soluzioni
  • Per capire il comportamento della funzione cotangente all'infinito, puoi fare riferimento al suo grafico.

    Sappiamo che il dominio della cotangente è

    D=\mathbb{R}\setminus\left\{k \pi\right\}\mbox{ con }k\mbox{ intero}

    Inoltre è una funzione periodica di periodo T= \pi. Proprio per la sua caratteristica possiamo effettuare delle considerazioni qualitative del suo andamento nell'intervallo (0,\pi)

    Per x che tende a zero da destra, la funzione cotangente schizza a più infinito. 

    \lim_{x\to 0^{+}}\cot(x)= +\infty

    Per x che tende a pi greco da sinistra, la funzione cotangente schizza invece a meno infinito:

    \lim_{x\to \pi^{-}}\cot(x)= -\infty

    Proprio per la periodicità della funzione, possiamo asserire che:

    \lim_{x\to k\pi^{+}}\cot(x)= +\infty

    \lim_{x\to (1+k)\pi^{-}}\cot(x)= -\infty

    In ogni intervallo del tipo (k\pi, (k+1)\pi) la funzione si ripete, sempre uguale a se stessa :).

    Proprio per questo suo ripetersi, oscillando tra meno infinito e più infinito, il limite per x che tende a più infinito non esiste:

    \nexists\lim_{x\to +\infty}\cot(x)

    Lo stesso discorso vale quando la variabile x tende a meno infinito. 

    \nexists\lim_{x\to -\infty}\cot(x)

    In soldoni: la periodicità della funzione cotangente fa sì che i limiti a più e a meno infinito non esistano.

    Se vuoi dare un'occhiata al grafico della cotangente - click!

    Risposta di Ifrit
 
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