Soluzioni
  • In realtà esiste una regola che permette di esprimere il quoziente di due logaritmi in un unico logaritmo, ma è una formula poco utilizzata, è preferibile non abusarne. La relazione nuda e cruda è:

    \frac{\log_{c}(a)}{\log_{c}(b)}= \log_{b}(a)

    dove c\,\textgreater\, 0\, c\ne 1 mentre a\,\textgreater\,0 e b\,\textgreater\, 0, b\ne 1

    A parole: il quoziente di due logaritmi che hanno la stessa base è un logaritmo che ha per base l'argomento del logaritmo che troviamo al denominatore e per argomento l'argomento del logaritmo che si trova al numeratore.

    La regola che ho appena scritto deriva dalla formula di cambiamento di base per logaritmi, è sufficiente leggerla al contrario. :)  Se ci trovassimo di fronte un quoziente di due logaritmi con basi diverse, non arriveremmo a scriverlo come un unico logaritmo, se non in casi estremamente particolari. 

    Ecco qualche esempio di come potrebbe essere utilizzata:

    \bullet\,\,\frac{\log_{3}(4)}{\log_{3}(2)}= \log_{2}(4)= 2

    \bullet\,\,\frac{\log_{\frac{1}{2}}(1331)}{\log_{\frac{1}{2}}(11)}= \log_{11}(1331)= 3

    Giungeremmo allo stesso risultato utilizzando le altre proprietà dei logaritmi. Nota infatti che:

    \frac{\log_{3}(4)}{\log_{3}(2)}= \frac{\log_{3}(2^2)}{\log_{3}(2)}

    Per una nota proprietà

    \log_{c}(a^{\alpha})= \alpha \log_{c}(a)

    potremo scrivere \log_{3}(2^2) come:

    \log_{3}(2^2)= 2\log_{3}(2) di conseguenza:

    \frac{\log_{3}(4)}{\log_{3}(2)}= \frac{\log_{3}(2^2)}{\log_{3}(2)}= \frac{2\log_{3}(2)}{\log_{3}(2)}= 2

    Visto? I risultati coincidono! 

    Approfondisci leggendo la lezione sulle proprietà dei logaritmi.

    Risposta di Omega
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