Soluzioni
  • Un luogo geometrico è l'insieme di tutti i punti del piano o dello spazio che godono di una certa proprietà; tale può essere espressa sotto forma di equazione o di formula matematica.

    Inoltre si parla di luogo geometrico del piano quando il luogo geometrico è definito nel piano cartesiano, mentre se ci si trova nello spazio euclideo si sentirà parlare di luogo geometrico dello spazio.

    Ad esempio, la circonferenza è un luogo geometrico del piano, infatti è definita come l'insieme dei punti del piano per cui è fissa la distanza da un dato punto, detto centro della circonferenza.

    Invece la superficie di una sfera è un luogo geometrico dello spazio, infatti è definita come l'insieme di tutti e soli i punti dello spazio per cui è fissa la distanza da un dato punto, detto centro della sfera.

     

    Esempi di luogo geometrico

    In Geometria Analitica, le coniche si definiscono come particolari luoghi geometrici, nello specifico:

    - la parabola è il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta r detta direttrice. In formule

    P \in \mbox{parabola} \iff \overline{PF}=d(P,r)

    dove d(P,r) indica la distanza punto retta.

    - L'ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è fissa la somma delle distanze da due punti fissi F1 ed F2 detti fuochi. Quindi la formula matematica che descrive questo luogo geometrico è la seguente:

    P \in \mbox{ellisse} \iff \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\mbox{ costante}

    - l'iperbole è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi F1 ed F2 detti fuochi. In formule:

    P \in \mbox{iperbole} \iff \left|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right|=\mbox{ costante}

     

    Altri esempi di luogo geometrico che si incontrano in Geometria Piana:

    - l'asse di un segmento, definito come il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti dagli estremi A e B del segmento:

    P\in \mbox{ asse del segmento } AB \iff \overline{PA}=\overline{PB}

    - La bisettrice di un angolo definita come il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti dai lati a e b di un angolo; in formule

    P \in \mbox{bisettrice di un angolo di lati } a \mbox{ e } b \iff d(P,a)=d(P,b)

    - Il circocentro del triangolo che è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai vertici del triangolo, quindi

    P \mbox{ circocentro del triangolo } ABC \iff \overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}

    In particolare il circocentro è un luogo geometrico che si riduce ad un solo punto.

    - L'incentro di un triangolo, definito come il luogo geometrico dei punti equidistanti dei lati di un triangolo, ossia

    P \mbox{ incentro del triangolo di lati } a, \ b, \ c \iff d(P,a)=d(P,b)=d(P,c)

    Anche l'incentro è un luogo geometrico che si riduce ad un solo punto.

    È tutto! ;)

    Risposta di Galois
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