Equazione non omogenea del 2 ordine con seno e coseno

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Non so come procedere nello svolgimento di questa equazione differenziale del secondo ordine non omogenea, in particolare mi dà problemi il termine noto trigonometrico (somma di seno e coseno).

 

y''+2y'+2y = sin(x)+cos(x)

 

Grazieeee!

Domanda di maria rosaria

 
Soluzioni

  • Ciao maria rosaria,

     

    per prima cosa cerchiamo le soluzioni dell'equazione differenziale omogenea associata a quella del tuo esercizio:

     

    y^(prime prime)+2y^(prime)+2y = 0

     

    Cerchiamo soluzioni della forma eλx , quindi sostituiamo questa soluzione nell'equazione omogenea, otteniamo:

     

    (e^(λ x))^(prime prime)+2(e^(λ x))^(prime)+2(e^(λ x)) = 0

     

    cioè

     

    λ^2 e^(λ x)+2λ e^(λ x)2e^(λ x) = 0

     

    Raccogliendo eλx otteniamo:

     

    e^(λ x)(λ^2+2λ+2) = 0

     

    L'esponenziale non è mai nullo, quindi al più può annullarsi l'altro fattore:

     

    λ^2+2λ+2 = 0

     

    Questa equazione di secondo grado ha discriminante negativo e soluzioni per

     

    λ_(1,2) = -1±i

     

    Quindi la soluzione dell'equazione omogenea è data da

     

    y = e^(-x)(c_1cos(x)+c_2sin(x))

     

    Non ci resta che trovare la soluzione particolare dell'equazione differenziale da cui siamo partiti. Per un'equazione di questo tipo, si cercano soluzioni di questa forma:

     

    u(x) = Ccos(x)+Dsin(x)

     

    Sostituiamo nella tua equazione tenendo conto che

     

    u^(prime)(x) = -Csin(x)+Dcos(x)

     

    u^(prime prime)(x) = -Ccos(x)-Dsin(x)

     

    Sostituendo otteniamo

     

    -Ccos(x)-Dsin(x)+2(-Csin(x)+Dcos(x))+2(Ccos(x)+Dsin(x)) = cos(x)+sin(x)

     

    Raccogliendo C e D otteniamo

     

    C(cos(x)-2sin(x))+D(2cos(x)+sin(x)) = cos(x)+sin(x)

     

    cioè

     

    (C+2D)cos(x)+(-2C+D)sin(x) = cos(x)+sin(x)

     

    da qui ricaviamo il sistema

     

    C+2D = 1 ;-2C+D = 1

     

    che ha come soluzioni C=-(1/5) e D=3/5.

     

    Quindi 

     

    u(x) = -(1)/(5)cos(x)+(3)/(5)sin(x)

     

    e le soluzioni dell'equazione sono date da

     

    y = -(1)/(5)cos(x)+(3)/(5)sin(x)+e^(-x)(c_1cos(x)+c_2sin(x))

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha

  • grazie 1000...ma vorrei farti una domanda...come mai se le soluzioni

    dell'equazione differenziale  omogenea associata sono e^-x(c1cos(x)+c2sen(x)) allora

    u(x)=C cosx+D senx e non

    u(x)=x(C cosx+D senx) ??

    Risposta di maria rosaria

  • grazie 1000...ma vorrei farti una domanda...come mai se le soluzioni

    dell'equazione differenziale  omogenea associata sono e^-x(c1cos(x)+c2sen(x)) allora

    u(x)=C cosx+D senx e non

    u(x)=x(C cosx+D senx) ??

    Risposta di maria rosaria

  • Perché si cercano soluzioni del tipo x(C cosx+D sinx) solo quando la soluzione è puramente immaginaria, mentre nel nostro caso è data da complessi coniugati con parte reale non banale

    Risposta di Alpha
 
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