Soluzioni
  • Ciao maria rosaria,

     

    per prima cosa cerchiamo le soluzioni dell'equazione differenziale omogenea associata a quella del tuo esercizio:

     

    y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+2y=0

     

    Cerchiamo soluzioni della forma eλx , quindi sostituiamo questa soluzione nell'equazione omogenea, otteniamo:

     

    (e^{\lambda x})^{\prime\prime}+2(e^{\lambda x})^{\prime}+2(e^{\lambda x})=0

     

    cioè

     

    \lambda^2 e^{\lambda x}+2\lambda e^{\lambda x}2e^{\lambda x}=0

     

    Raccogliendo eλx otteniamo:

     

    e^{\lambda x}(\lambda^2+2\lambda+2)=0

     

    L'esponenziale non è mai nullo, quindi al più può annullarsi l'altro fattore:

     

    \lambda^2+2\lambda+2=0

     

    Questa equazione di secondo grado ha discriminante negativo e soluzioni per

     

    \lambda_{1,2}=-1\pm i

     

    Quindi la soluzione dell'equazione omogenea è data da

     

    y=e^{-x}(c_1\cos(x)+c_2\sin(x))

     

    Non ci resta che trovare la soluzione particolare dell'equazione differenziale da cui siamo partiti. Per un'equazione di questo tipo, si cercano soluzioni di questa forma:

     

    u(x)=C\cos(x)+D\sin(x)

     

    Sostituiamo nella tua equazione tenendo conto che

     

    u^{\prime}(x)=-C\sin(x)+D\cos(x)

     

    u^{\prime\prime}(x)=-C\cos(x)-D\sin(x)

     

    Sostituendo otteniamo

     

    -C\cos(x)-D\sin(x)+2(-C\sin(x)+D\cos(x))+2(C\cos(x)+D\sin(x))=\cos(x)+\sin(x)

     

    Raccogliendo C e D otteniamo

     

    C(\cos(x)-2\sin(x))+D(2\cos(x)+\sin(x))=\cos(x)+\sin(x)

     

    cioè

     

    (C+2D)\cos(x)+(-2C+D)\sin(x)=\cos(x)+\sin(x)

     

    da qui ricaviamo il sistema

     

    \left\{\begin{matrix}C+2D=1\\-2C+D=1\end{matrix}

     

    che ha come soluzioni C=-(1/5) e D=3/5.

     

    Quindi 

     

    u(x)=-\frac{1}{5}\cos(x)+\frac{3}{5}\sin(x)

     

    e le soluzioni dell'equazione sono date da

     

    y=-\frac{1}{5}\cos(x)+\frac{3}{5}\sin(x)+e^{-x}(c_1\cos(x)+c_2\sin(x))

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha
  • grazie 1000...ma vorrei farti una domanda...come mai se le soluzioni

    dell'equazione differenziale  omogenea associata sono e^-x(c1cos(x)+c2sen(x)) allora

    u(x)=C cosx+D senx e non

    u(x)=x(C cosx+D senx) ??

    Risposta di maria rosaria
  • grazie 1000...ma vorrei farti una domanda...come mai se le soluzioni

    dell'equazione differenziale  omogenea associata sono e^-x(c1cos(x)+c2sen(x)) allora

    u(x)=C cosx+D senx e non

    u(x)=x(C cosx+D senx) ??

    Risposta di maria rosaria
  • Perché si cercano soluzioni del tipo x(C cosx+D sinx) solo quando la soluzione è puramente immaginaria, mentre nel nostro caso è data da complessi coniugati con parte reale non banale

    Risposta di Alpha
 
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