Soluzioni
  • La divisione tra due frazioni algebriche è una frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda. In formule:

    \frac{N_1(x)}{D_1(x)}: \frac{N_2(x)}{D_2(x)}= \frac{N_1(x)}{D_1(x)}\cdot \frac{D_2(x)}{N_2(x)}= \frac{N_1(x)D_2(x)}{D_1(x)N_2(x)}

    Quando abbiamo a che fare con frazioni, dobbiamo stare attenti alle condizioni d'esistenza. I denominatori devono essere diversi da zero, in più dobbiamo pretendere che anche il numeratore della frazione algebrica "divisore" sia diverso da zero. Le condizioni d'esistenza saranno:

    D_1(x)\ne 0,\,\, D_2(x)\ne 0,\,\, N_2(x)\ne 0.

    Naturalmente, all'atto pratico, procederemo seguendo questo schema:

    1) trasformiamo la divisione tra frazioni algebriche in moltiplicazione. Scriveremo la prima frazione che moltiplica il reciproco della seconda;

    2) scomponiamo i numeratori e i denominatori delle frazioni algebriche;

    3) semplifichiamo tutto ciò che è possibile semplificare, eventualmente anche a "croce";

    4) moltiplichiamo i numeratori delle due frazioni, il prodotto sarà il numeratore del risultato. Moltiplichiamo tra loro i denominatori, il risultato sarà il denominatore del risultato. 

     

    Esempio:

    \bullet\,\, \frac{x^2-2 x y+ y^2}{x^2- y^2}: \frac{x^3- x^2y- x y^2+ y^3}{x^3+3x^2+3 x y^2+ y^3}

    Scriviamo la divisione tra le frazioni algebriche in un prodotto, facendo il reciproco della seconda:

    \frac{x^2-2 x y+ y^2}{x^2- y^2}\cdot \frac{x^3+ 3 x^2 y+ 3 x y^2+ y^3}{x^3-x^2 y-x y^2+ y^3}

    Fattorizziamo tutti i termini delle frazioni algebriche:

    \bullet\,\,x^2-2x y+y^2= (x-y)^2 [è un quadrato di un binomio]

    \bullet\,\,x^2- y^2= (x+y)(x-y) [è una differenza di quadrati]

    \bullet\,\, x^3+3 x^2 y+ 3 x y^2+ y^3= (x+y)^3  [è un cubo di binomio]

    \begin{align*}\bullet\,\,x^3- x^2 y- x y^2+ y^3&= x^2(x-y)-y^2(x-y)\\&= (x-y)(x^2-y^2)\\&= (x-y)^2(x+y)\end{align}

    In questi passaggi ho raccolto parzialmente x^2 e y^2, dopodiché ho fattorizzato ulteriormente la differenza di quadrati. Scriveremo quindi:

    \frac{x^2-2 x y+ y^2}{x^2- y^2}\cdot \frac{x^3+ 3 x^2 y+ 3 x y^2+ y^3}{x^3-x^2 y-x y^2+ y^3}=

    \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}\cdot \frac{(x+y)^3}{(x-y)^2(x+y)}

    Semplifichiamo a croce (x-y)^2

    \frac{1}{(x+y)(x-y)}\cdot \frac{(x+y)^3}{(x+y)}

    Semplifichiamo x+y nella seconda frazione algebrica:

    \frac{1}{(x+y)(x-y)}\cdot \frac{(x+y)^2}{1}

    Continuiamo a semplifcare x+y tra il denominatore della prima frazione con il numeratore della seconda:

    \frac{1}{x-y}\cdot \frac{x+y}{1}

    Moltiplichiamo tra loro i numeratori e i denominatori:

    \frac{1}{x-y}\cdot \frac{x+y}{1}= \frac{x+y}{x-y}

    Abbiamo finito! :)

     

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    Risposta di Ifrit
 
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