Soluzioni
  • Lo span, o copertura lineare, di un vettore \mathbf{v} che appartiene ad uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K} è un insieme costituito da tutti i multipli del vettore \mathbf{v}.

    In matematichese scriveremo:

    \mbox{span}(\mathbf{v})=\left\{\lambda\mathbf{v}\mbox{ tale che }\lambda\in \mathbb{K}\right\}

    Per indicare lo span si utilizza anche la scrittura \langle \mathbf{v}\rangle.  

    Si dimostra abbastanza agevolmente che \mbox{span}(\mathbf{v}) è un sottospazio vettoriale, e il vettore \mathbf{v} costituisce un sistema di generatori che è anche una base per la copertura lineare se e solo se \mathbf{v}\ne \mathbf{0}.

     

    Esempio

    Lo span del vettore \mathbf{v}=(1,0,1) è il seguente insieme: 

    \mbox{span}(\mathbf{v})= \left\{\lambda (1,0,1)= (\lambda, 0, \lambda), \mbox{ con }\lambda\in \mathbb{R}\right\}

    Un vettore \mathbf{w} appartiene a \mbox{span}(\mathbf{v}) se esiste un numero reale \lambda tale che \mathbf{w}=\lambda \mathbf{v}, ovvero \mathbf{w} è multiplo del vettore \mathbf{v}.

     

    Continuando a prendere in considerazione l'esempio che hai proposto, puoi subito asserire che il vettore 

    \mathbf{w}= (2,0,2) appartiene alla copertura lineare di \mathbf{v}, basta prendere \lambda= 2

    Il vettore \mathbf{w}= (2, 1, 2) non può vivere in \mbox{span}(\mathbf{v}) perché non riusciamo a trovare nessun numero reale \lambda tale che \mathbf{w}= \lambda \mathbf{v}.

     

    Per approfondire la questione, ti invito a leggere la lezione sui sistemi di generatori.

    Risposta di Ifrit
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