Divisione tra potenze

Cos'è e come si svolge una divisione tra potenze? Potreste spiegarmi come si svolgono le divisioni tra potenze e mostrarmi qualche esempio?

Conosco la regola sulla divisione tra potenze con la stessa base, ma l'ho solo imparata a memoria e non ho capito come si applica.

Vorrei anche sapere se esiste una regola per svolgere la divisione tra potenze con lo stesso esponente e, infine, come si calcola la divisione tra potenze con basi ed esponenti diversi.

Domanda di FAQ

Soluzioni

La divisione tra potenze è una divisione in cui dividendo e divisore sono potenze, e si svolge in modi diversi a seconda che le potenze coinvolte abbiano la stessa base, oppure lo stesso esponente, oppure abbiano basi ed esponenti diversi.
Per fissare le idee, ecco qualche esempio di divisioni tra potenze:
• è una divisione tra potenze con la stessa base;
• è una divisione tra potenze con la stesso esponente;
• è una divisione tra potenze con basi ed esponenti diversi.
Prima di vedere come si svolgono ricordiamo che dividendo e divisore sono i primi due termini della divisione e che, in particolare, il dividendo è il numero a sinistra del simbolo di diviso e il divisore è il numero alla sua destra.
Divisione tra potenze con la stessa base
La divisione tra due potenze con la stessa base è una nuova potenza avente come base la stessa base, e come esponente la differenza tra gli esponenti di dividendo e divisore.
In una formula:
$a^n:a^m=a^{n-m}\ \ \ (a\neq 0)$
In alternativa possiamo esprimere la divisione sotto forma di rapporto e quindi scrivere la formula della divisione tra potenze con la stessa base nel modo seguente:
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\ \ \ (a\neq 0)$
Dimostrazione della formula per la divisione tra potenze con la stessa base
Per dimostrare la proprietà
$a^n:a^m=a^{n-m}\ \ \ (a\neq 0)$
scriviamo la divisione come prodotto tra il dividendo e il reciproco del divisore
$a^n:a^m= a^n \cdot \frac{1}{a^m} = a^n \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^m =$
per come sono definite le potenze con esponente negativo
$=a^n \cdot a^{-m}=$
il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti, quindi
$=a^{n+(-m)}=a^{n-m}$
Esempi sulla divisione tra potenze con la stessa base
• Vediamo un semplice esempio e calcoliamo la divisione tra potenze con la stessa base, applicando la regola:
$2^{7}:2^{5}=2^{7-5}=2^{2}= 4$
Per controllare se il calcolo è corretto possiamo procedere sviluppando prima le potenze e poi calcolando il quoziente, esattamente come faremmo se non fossimo a conoscenza della suddetta proprietà
$2^{7}:2^{5}=128: 32= 4$
I risultati coincidono. :)
• La stessa proprietà vale quando si considerano le potenze di frazioni:
$\left(\frac{3}{4}\right)^{10}: \left(\frac{3}{4}\right)^{8}=\left(\frac{3}{4}\right)^{10-8}= \left(\frac{3}{4}\right)^{2}= \frac{9}{16}$
Divisione tra potenze con lo stesso esponente
Se consideriamo la divisione tra due potenze con basi diverse, in generale non possiamo applicare alcuna proprietà. Se però le due potenze hanno lo stesso esponente possiamo ricorrere a un'altra regola.
La divisione tra due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
In formule:
$a^n: b^n= (a:b)^n\ \ \ (b\neq 0)$
o, in modo equivalente
$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\ \ \ (b\neq 0)$
Dimostrazione della formula per la divisione tra potenze con lo stesso esponente
Per dimostrare la proprietà del rapporto di potenze con lo stesso esponente ci conviene scrivere il rapporto sotto forma di frazione e usare la definizione di potenza
$\frac{a^n}{b^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot ...\cdot b}_{n\mbox{ volte}}}=$
A questo punto sfruttiamo la regola per la moltiplicazione tra frazioni
$=\overbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot ...\cdot \frac{a}{b}}^{n\mbox{ volte}}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$
Esempi sulla divisione tra potenze con lo stesso esponente
• Vediamo un esempio che ci permetterà di comprendere meglio la situazione. :)
Le basi delle due potenze sono diverse, ma hanno lo stesso esponente, per cui possiamo applicare la proprietà:
Controlliamo la correttezza del risultato sviluppando prima le potenze e calcolando successivamente il rapporto:
Anche in questo caso i risultati coincidono.
• Ovviamente possiamo applicare la stessa regola anche quando abbiamo a che fare con potenze con base fratta:
$\left(\frac{3}{4}\right)^{3}:\left(\frac{3}{2}\right)^{3}$
Le basi sono diverse ma gli esponenti coincidono, dunque:
$\left(\frac{3}{4}\right)^{3}:\left(\frac{3}{2}\right)^{3}= \left(\frac{3}{4}:\frac{3}{2}\right)^{3}$
Tra le parentesi tonde abbiamo un quoziente tra frazioni:
$\left(\frac{3}{4}:\frac{3}{2}\right)^{3}=\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\right)^{3}= \left(\frac{1}{2}\right)^{3}= \frac{1}{8}$
Divisione tra potenze con basi diversi ed esponenti diversi
Se le due potenze non hanno la stessa base né lo stesso esponente possiamo tentare di ricondurci a uno dei casi precedenti, ma non sempre è possibile farlo.
In alcuni casi non c'è davvero via d'uscita e l'unico modo per svolgere la divisione è quello di sviluppare le potenze e, successivamente, calcolare il quoziente o scriverlo sotto forma di frazione.
Esempi di divisioni tra potenze con base ed esponenti diversi
• Un primo esempio
le due potenze hanno basi ed esponenti diversi, ma 8 è una potenza di 2
dunque
$8^2 : 2^3 = \left(2^3\right)^2 : 2^3 =$
Per com'è definita la potenza di una potenza
Ci siamo così ricondotti a una divisione tra potenze con la stessa base
$=2^{6-3} = 2^3 = 8$
• Vediamo un altro esempio:
Questa è una divisione tra potenze con basi ed esponenti diversi che non si può ricondurre a nessun caso particolare, dunque sviluppiamo le potenze e calcoliamo la divisione
$27 : 4 = \frac{27}{4}$
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Per concludere, eccoti qualche spunto di approfondimento:
- lezione introduttiva sulle potenze;
- lezione sulle proprietà delle potenze;
- tool per calcolare le potenze online. ;)
Risposta di Ifrit