Soluzioni
  • La regola per la divisione tra due potenze con la stessa base permette di considerare una nuova potenza avente come base la stessa base, e come esponente la differenza tra gli esponenti di dividendo e divisore.

    Possiamo esprimere la proprietà in una semplice formula:

    \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\ \ \ (a\neq 0)

    o, equivalentemente

    a^n:a^m=a^{n-m}\ \ \ (a\neq 0)

    Questa proprietà però contempla solamente uno dei possibili casi del quoziente tra potenze, infatti dobbiamo anche considerare il caso di potenze con basi diverse e uguale esponente. Procediamo con ordine...

    Dimostrazione

    Per dimostrare la proprietà possiamo riscrivere la divisione come prodotto per il reciproco del divisore e appoggiarci alla regola per il prodotto di potenze con la stessa base

    a^n:a^m=a^n\cdot a^{-m}=a^{n+(-m)}=a^{n-m}

    Esempi sulla divisione tra potenze con la stessa base

    1) Consideriamo un semplice esempio in cui dobbiamo calcolare la divisione tra potenze con la stessa base, e applichiamo la regola:

    2^{7}:2^{5}=2^{7-5}=2^{2}= 4

    Per controllare se il calcolo è corretto possiamo procedere sviluppando prima le potenze e poi calcolando il quoziente, esattamente come faremmo se non fossimo a conoscenza della suddetta proprietà

    2^{7}:2^{5}=128: 32= 4

    I risultati coincidono. :)

    2) La stessa proprietà vale quando si considerano le potenze di frazioni:

    \left(\frac{3}{4}\right)^{10}: \left(\frac{3}{4}\right)^{8}=\left(\frac{3}{4}\right)^{10-8}= \left(\frac{3}{4}\right)^{2}= \frac{9}{16}

    Divisione tra potenze con lo stesso esponente

    Se consideriamo la divisione tra due potenze con basi diverse, in generale non possiamo applicare alcuna proprietà. Se però le due potenze hanno lo stesso esponente possiamo ricorrere a un'altra regola.

    La divisione tra due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. 

    In formule:

    \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\ \ \ (b\neq 0)

    o, in modo equivalente

    a^n: b^n= (a:b)^n\ \ \ (b\neq 0)

    Dimostrazione

    Per dimostrare la proprietà del rapporto di potenze con lo stesso esponente ci conviene scrivere il rapporto sotto forma di frazione e usare la definizione di potenza

    \frac{a^n}{b^n}=\frac{\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}}{\underbrace{b\cdot b\cdot ...\cdot b}_{n\mbox{ volte}}}=

    A questo punto sfruttiamo la regola per la moltiplicazione tra frazioni

    =\overbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot ...\cdot \frac{a}{b}}^{n\mbox{ volte}}=\left(\frac{a}{b}\right)^n

    Esempi sulla divisione tra potenze con lo stesso esponente

    1) Vediamo un esempio che ci permetterà di comprendere meglio la situazione. :)

    4^5: 2^5

    Le basi delle due potenze sono diverse, ma hanno lo stesso esponente, per cui possiamo applicare la proprietà:

    4^5: 2^5= (4:2)^5= 2^5= 32

    Controlliamo la correttezza del risultato sviluppando prima le potenze e calcolando successivamente il rapporto:

    4^5: 2^5=1024:32=32 

    Anche in questo caso i risultati coincidono.

    2) Ovviamente possiamo applicare la stessa regola vale anche quando abbiamo a che fare con potenze a base fratta:

    \left(\frac{3}{4}\right)^{3}:\left(\frac{3}{2}\right)^{3}

    Le basi sono diverse ma gli esponenti coincidono, dunque:

    \left(\frac{3}{4}\right)^{3}:\left(\frac{3}{2}\right)^{3}= \left(\frac{3}{4}:\frac{3}{2}\right)^{3}

    Tra le parentesi tonde abbiamo un quoziente tra frazioni:

    \left(\frac{3}{4}:\frac{3}{2}\right)^{3}=\left(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\right)^{3}= \left(\frac{1}{2}\right)^{3}= \frac{1}{8}

    Divisione tra potenze con basi diversi ed esponenti diversi 

    Se le due potenze non hanno la stessa base né lo stesso esponente allora queste regole non possono essere applicate, e in generale non c'è alcuna proprietà che si possa applicare.

    ***

    Per concludere, qualche spunto di approfondimenti:

    - la lezione introduttiva sulle potenze;

    - la lezione sulle proprietà delle potenze;

    - il tool per calcolare le potenze online. ;)

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Algebra e Aritmetica