Soluzioni
  • La definizione di insieme denso U\subseteq X presuppone di lavorare in un insieme X munito di una distanza d:X\times X\to [0,+\infty).

    Qui proponiamo una definizione il più generale possibile e, a titolo di cronaca, qui su YM abbiamo trattato l'argomento anche nello specifico contesto dei numeri reali. Nella fattispecie la lezione di riferimento è quella dedicata alla densità di Q in R.

    Per farci un'idea possiamo immaginare di lavorare con un sottoinsieme U\subseteq \mathbb{R}, dove consideriamo come distanza su \mathbb{R} la solita distanza euclidea

    d(x_1,x_2)=|x_2-x_1|

    Con queste premesse ha senso parlare di intorno di un punto nell'insieme (X,d). La nozione di intorno non può infatti prescindere dalla nozione di distanza, infatti in generale un intorno di centro x_0\in X e raggio r è definito come

    B_r(x_0)=\{x\in X\mbox{ t.c. }d(x,x_0)<r\}

    Nota che la nozione di intorno di un punto in \mathbb{R} rispetto alla distanza euclidea è una semplice particolarizzazione della precedente definizione.

    Definizione di insieme denso in un altro insieme

    Siamo pronti per dare la definizione di insieme denso U\subset X: diciamo che U è denso nell'insieme X se, comunque scelti un punto x_0\in X e comunque scelto un raggio r, esiste un punto u\in U tale da cadere nell'intorno di x_0 di raggio r.

    In simboli:

    U\mbox{ denso in }X\mbox{ se }\forall x_0\in X,\ \forall r>0\ \exists u\in U\mbox{ t.c. }u\in B_r(x_0)

    A ben vedere il nome di insieme denso in un altro insieme riprende (a modo proprio) l'usuale nozione di densità fisica, e dice già tutto: U è denso in X se per ogni elemento di X possiamo trovare un elemento di U indefinitamente vicino ad esso.

    Esempi di insieme denso in R

    L'insieme dei numeri razionali \mathbb{Q}\subset\mathbb{R} e l'insieme dei numeri irrazionali \mathbb{I}\subseteq\mathbb{R} sono densi in \mathbb{R}.

    Esempi di insieme che non è denso in R

    L'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}\subset\mathbb{R} e l'insieme dei numeri relativi \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R} NON sono densi in \mathbb{R}.

    Definizioni equivalenti di insieme denso (giusto per rifletterci un po' su ;) )

    - Un insieme U è denso in X se ogni elemento di X appartiene ad U oppure è un punto di accumulazione per U.

    - Un insieme U è denso in X se ogni elemento di X è un punto di aderenza di U.

    - Un insieme U è denso in X se la chiusura di U in X coincide con X, cioè se

    \overline{U}=X

    Ricordo a titolo di cronaca che la chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme con l'insieme dei suoi punti di accumulazione.

    Risposta di Omega
 
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