Soluzioni
  • La tangente della differenza di due angoli è uguale alla tangente del primo angolo meno la tangente del secondo angolo, tutto fratto 1 più il prodotto tra la tangente del primo angolo e la tangente del secondo angolo.

    \\ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)} \\ \\ \\ \mbox{con } \alpha, \beta, \alpha-\beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}, \ k \in \mathbb{Z}

    I valori esclusi per le ampiezze degli angoli \alpha, \beta, \alpha-\beta sono quelli che farebbero perdere di significato alla formula, in accordo con la definizione di tangente di un angolo.

    Dimostrazione della formula per la tangente della differenza

    Consideriamo due angoli \alpha, \beta, con \alpha, \beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ} e supponiamo che \alpha-\beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}, con k \in \mathbb{Z} numero intero relativo.

    Dimostriamo la formula della tangente di una differenza:

    \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    La tangente di un angolo è uguale al rapporto tra seno e coseno dello stesso angolo, dunque

    \tan(\alpha - \beta) = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=

    Esplicitiamo il seno della differenza a numeratore e il coseno della differenza a denominatore:

    =\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)}=

    Dividiamo numeratore e denominatore per \cos(\alpha)\cos(\beta). Possiamo farlo perché le condizioni iniziali \left(\alpha, \beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}\right) ci assicurano che stiamo dividendo per una quantità non nulla.

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}=

    Spezziamo le frazioni a numeratore e a denominatore

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}-\dfrac{\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}+\dfrac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}=

    Semplifichiamo tutto quello che si può semplificare

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\dfrac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}=

    e scriviamo il secondo termine del denominatore come moltiplicazione tra frazioni

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}=

    Abbiamo quasi finito. Applichiamo nuovamente la definizione di tangente di un angolo

    = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    e otteniamo la formula per la tangente della differenza di due angoli:

    \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    Esempio di applicazione della formula della tangente della differenza

    A titolo di esempio calcoliamo la tangente di 15°, che sarebbe difficile ottenere direttamente come rapporto tra il seno e il coseno di 15 gradi, in quanto sono valori che difficilmente si ricordano a memoria.

    Scriviamo 15° come differenza tra 60° e 45°

    15^{\circ}=60^{\circ}-45^\circ

    e applichiamo la formula per la tangente della differenza (le condizioni di esistenza sono soddisfatte)

    \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    Sostituiamo \alpha=60^{\circ} e \beta=45^{\circ}

    \\ \tan(15^{\circ}) = \tan(60^{\circ}-45^{\circ}) = \\ \\ = \frac{\tan(60^{\circ}) - \tan(45^{\circ})}{1+\tan(60^{\circ}) \tan(45^{\circ})}=

    la tangente di 60° è uguale a √3, mentre la tangente di 45° è uguale a 1

    =\frac{\sqrt{3}-1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{1 + \sqrt{3}}=

    Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per 1-\sqrt{3}

    =\frac{(\sqrt{3}-1)(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}=

    e dopo qualche passaggio algebrico ricaviamo

    =2-\sqrt{3}

    In definitiva:

    \tan(15^{\circ})=2-\sqrt{3}

    ***

    È tutto! Ti lasciamo qualche riferimento utile:

    - formule di addizione e sottrazione degli angoli, dove proponiamo le dimostrazioni di tutte le formule di addizione e sottrazione;

    - formule di Trigonometria, per un elenco completo di tutte le formule goniometriche;

    - tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, che ti consigliamo di avere sempre a portata di mano.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Trigonometria