Soluzioni
  • La proprietà fondamentale delle proporzioni stabilisce che in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Data la proporzione a:b=c:d vale l'uguaglianza b×c=a×d.

    a:b = c:d ⇔ b×c = a×d

    A scanso di equivoci ricordiamo che in una proporzione

    a:b = c:d

    • i medi sono il secondo e il terzo termine, ossia i numeri vicini al simbolo di uguale (b e c);

    • gli estremi sono il primo e il quarto termine, ossia i numeri esterni (a e d).

    A cosa serve la proprietà fondamentale delle proporzioni

    La proprietà fondamentale è estremamente importante per due motivi: da un lato consente di verificare se quattro numeri formano effettivamente una proporzione, dall'altro permette di risolvere le proporzioni con termine incognito, ossia di calcolare il termine incognito di una proporzione.

    Esempi di utilizzo della proprietà fondamentale

    1) Stabilire se

    7:3 = 5:2

    è una proporzione oppure no.

    Svolgimento: per la proprietà fondamentale, una proporzione è tale se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Nella relazione

    7:3 = 5:2

    - i medi sono 3 e 5, il cui prodotto è 15

    3×5 = 15

    - gli estremi sono 7 e 2, il cui prodotto è 14

    7×2 = 14

    e poiché il prodotto dei medi è diverso dal prodotto degli estremi, quella proposta non è una proporzione.

    2) Verificare che

    (2)/(5):(3)/(14) = (8)/(3):(10)/(7)

    è una proporzione con frazioni usando la proprietà fondamentale.

    Svolgimento: calcoliamo il prodotto dei medi e il prodotto degli estremi.

    I medi sono 3/14 e 8/3 e il loro prodotto è uguale a 4/7

    (3)/(14)×(8)/(3) =

    svolgiamo la moltiplicazione tra frazioni semplificando a croce

    = (1)/(7)×(4)/(1) = (1×4)/(7×1) = (4)/(7)

    Gli estremi sono 2/5 e 10/7, e anche il loro prodotto è pari a 4/7

    (2)/(5)×(10)/(7) = (2)/(1)×(2)/(7) = (2×2)/(1×7) = (4)/(7)

    Dal momento che il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi, la proprietà fondamentale garantisce che quella considerata è una proporzione.

    3) Calcolare il termine incognito nella seguente proporzione

    5:2 = x:10

    Svolgimento: applichiamo la proprietà fondamentale

    2×x = 5×10

    e calcoliamo il prodotto a secondo membro

    2×x = 50

    Dividiamo ambo i membri per 2

    (2×x)/(2) = (50)/(2)

    e dopo aver semplificato otteniamo

    x = 25

    Dimostrazione della proprietà fondamentale delle proporzioni

    Siano a,b,c,d quattro numeri, con b ≠ 0 e d ≠ 0. La proprietà fondamentale stabilisce che a:b = c:d è un proporzione se e solo se b×c = a×d, dunque per dimostrarla dobbiamo provare che:

    1) se a:b = c:d è una proporzione, allora b×c = a×d;

    2) se a,b,c,d sono tali che b×c = a×d, allora a:b = c:d è una proporzione.

    Partiamo dalla dimostrazione del punto 1).

    Assumiamo per ipotesi che a:b = c:d sia una proporzione. Una proporzione è, per definizione, un'uguaglianza tra rapporti, per cui

    (a)/(b) = (c)/(d)

    Moltiplichiamo entrambi i membri della precedente uguaglianza per b×d (possiamo farlo perché sia b che d sono diversi da zero)

    (b×d)×(a)/(b) = (c)/(d)×(b×d)

    Semplifichiamo

    d×a = c×b

    e otteniamo quanto volevamo provare, ossia che

    b×c = a×d

    Passiamo ora al punto 2).

    Supponiamo che a,b,c,d siano tali che b×c = a×d.

    Dividiamo ambo i membri per b×d, quantità sicuramente non nulla perché b e d sono diversi da zero

    (b×c)/(b×d) = (a×d)/(b×d)

    Semplifichiamo

    (c)/(d) = (a)/(b)

    e invertiamo il primo con il secondo membro

    (a)/(b) = (c)/(d)

    Dalla definizione di proporzione segue che

    a:b = c:d

    e anche il punto 2) è dimostrato.

    ***

    Oltre alla proprietà fondamentale, altre proprietà delle proporzioni sono:

    - la proprietà dell'invertire;

    - la proprietà del permutare;

    - la proprietà del comporre;

    - la proprietà dello scomporre.

    Cliccando su ciascun link troverai una spiegazione dettagliata di ciascuna proprietà, con la dimostrazione ed alcuni esempi di applicazione.

    Ti segnaliamo anche:

    - la nostra lezione sulle proporzioni;

    - l'approfondimento su rapporti e proporzioni;

    - il tool per risolvere le proporzioni online.

    Risposta di Galois
 
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