Soluzioni
  • Il coseno della differenza si calcola come cos(α-β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β), ossia è uguale al coseno del primo angolo moltiplicato per il coseno del secondo angolo, più il seno del primo angolo moltiplicato per il seno del secondo.

    Più esplicitamente se \alpha, \beta sono due angoli, allora il coseno della loro differenza è dato da

    \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)

    Ci rendiamo conto che le formule goniometriche sono talmente tante che spesso si fa fatica a ricordarle tutte. Ecco allora un piccolo trucco che ci aiuta a ricavare piuttosto facilmente la formula del coseno della differenza.

    Tutte le volte che ci troviamo a dover calcolare il coseno della sottrazione di due angoli \alpha e \beta, riscriviamolo come somma tra il prodotto di due coseni e il prodotto di due seni, nell'ordine cos cos | sen sen

    \cos(\alpha - \beta) = \cos(...)\cos(...) + \sin(...)\sin(...)

    Non ci rimane altro da fare che completare gli argomenti attenendoci all'ordine iniziale degli angoli. Nel nostro caso prima \alpha e poi \beta:

    \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)

    Occhi aperti sul segno! Il coseno della differenza di due angoli è uguale alla somma tra il prodotto di due coseni e il prodotto di due seni, cioè i segni sono invertiti. ;)

    Dimostrazione della formula del coseno della differenza

    Siano \alpha, \beta due angoli e, senza perdere di generalità, supponiamo che sia \alpha > \beta. Vogliamo dimostrare la formula del coseno della differenza:

    \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)

    Disegniamo la circonferenza goniometrica, ossia una circonferenza centrata nell'origine del piano cartesiano e con raggio uguale a 1. Chiamiamo A il punto di intersezione tra la circonferenza e il semiasse delle ascisse positive.

    Partendo da A e procedendo in senso antiorario tracciamo un angolo di ampiezza \alpha e un angolo di ampiezza \beta, entrambi con il vertice nell'origine. Indichiamo con C il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo di ampiezza \alpha e la circonferenza, e con D il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo di ampiezza \beta e la circonferenza.

    \\ \widehat{AOC}=\alpha \\ \\ \widehat{AOD}=\beta

    Calcoliamo graficamente l'angolo differenza \alpha-\beta=\widehat{COD} e sia \widehat{AOB} l'angolo di ampiezza \alpha-\beta tale da avere il primo lato coincidente con il semiasse delle ascisse positive.

     

    Coseno della differenza

    Dimostrazione della formula per il coseno della differenza.

     

    In una circonferenza ad angoli al centro congruenti corrispondono corde congruenti. Essendo

    \widehat{AOB}=\widehat{COD}=\alpha-\beta

    abbiamo che

    \overline{AB}=\overline{CD}

    Esplicitiamo le coordinate cartesiane dei punti A, B, C, D, così da poter calcolare le lunghezze delle corde AB e CD.

    A è un punto dell'asse x e della circonferenza goniometrica (che ha raggio 1), per cui ha ordinata nulla e ascissa uguale a 1

    A(1,0)

    Inoltre dalle definizioni di seno e coseno sappiamo che:

    - il coseno di un angolo è l'ascissa del punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica;

    - il seno di un angolo è l'ordinata del punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica.

    Di conseguenza, per come sono stati definiti i punti B,C,D:

    \\ B\left(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta)\right) \\ \\ C\left(\cos(\alpha), \sin(\alpha)\right) \\ \\ D\left(\cos(\beta), \sin(\beta)\right)

    Calcoliamo le lunghezze delle corde AB,CD applicando la formula della distanza tra due punti

    \\ \overline{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{\left[\cos(\alpha-\beta) - 1\right]^2 + \left[\sin(\alpha - \beta) - 0\right]^2}\\ \\ \\ \overline{CD}=\sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2} = \\ \\ = \sqrt{\left[\cos(\beta) - \cos(\alpha)\right]^2 + \left[\sin(\beta) - \sin(\alpha)\right]^2}

    Poiché le due corde congruenti, risulta

    \sqrt{\left[\cos(\alpha - \beta) - 1\right]^2 + \left[\sin(\alpha - \beta)\right]^2} = \sqrt{\left[\cos(\beta) - \cos(\alpha)\right]^2 + \left[\sin(\beta) - \sin(\alpha)\right]^2}

    Eleviamo ambo i membri al quadrato e sviluppiamo i quadrati di binomio

    \\ \cos^2(\alpha - \beta) - 2\cos(\alpha - \beta) + 1 + \sin^2(\alpha-\beta) = \\ \\ = \cos^2(\beta) - 2\cos(\alpha)\cos(\beta) + \cos^2(\alpha) + \sin^2(\beta) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta) + \sin^2(\alpha)

    Riordiniamo nel modo seguente:

    \\ \cos^2(\alpha - \beta) + \sin^2(\alpha-\beta) + 1 - 2\cos(\alpha - \beta) = \\ \\ = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) - 2\cos(\alpha)\cos(\beta) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta)

    Facciamo ora intervenire l'identità fondamentale della Trigonometria, secondo cui valgono le seguenti identità

    \\ \cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)=1\\ \\ \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1\\ \\ \cos^2(\beta)+\sin^2(\beta)=1

    Sostituiamo queste espressioni nella precedente uguaglianza

    \\ \overbrace{\cos^2(\alpha - \beta) + \sin^2(\alpha-\beta)}^{=1} + 1 - 2\cos(\alpha - \beta) = \\ \\ = \underbrace{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}_{=1} + \underbrace{\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta)}_{=1} - 2\cos(\alpha)\cos(\beta) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta)

    e ricaviamo

    2-2\cos(\alpha-\beta)=2-2\cos(\alpha) \cos(\beta) - 2\sin(\alpha) \sin(\beta)

    Ci siamo quasi! Eliminiamo la costante additiva 2, presente sia al primo che al secondo membro

    -2\cos(\alpha-\beta)=-2\cos(\alpha) \cos(\beta) - 2\sin(\alpha) \sin(\beta)

    Dividiamo tutto per -2

    \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

    e ricaviamo la formula del coseno della differenza che volevamo dimostrare.

    Esempio di applicazione della formula del coseno della differenza

    Usiamo la formula del coseno della differenza per calcolare il coseno di 120 gradi, uno di quei valori delle funzioni goniometriche che spesso viene dimenticato. ;)

    Scriviamo 120° come differenza tra 180° e 60°

    120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}

    e applichiamo la formula per il coseno della differenza

    \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)

    Sostituiamo \alpha=180^{\circ} e \beta=60^{\circ}:

    \\ \cos(120^{\circ})=\cos(180^{\circ}-60^{\circ})=\\ \\ =\cos(180^{\circ})\cos(60^{\circ})+\sin(180^{\circ})\sin(60^{\circ})= (\bigstar)

    Abbiamo ottenuto un'espressione che contiene solo valori notevoli delle funzioni goniometriche:

    • il coseno di 180° è uguale a -1

    \cos(180^{\circ})=-1

    • il coseno di 60° è uguale a 1/2

    \cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}

    • il seno di 180° è uguale a 0

    \sin(180^{\circ})=0

    • il seno di 60° è uguale a √3/2

    \sin(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Di conseguenza

    (\bigstar)=-1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}

    ***

    Per concludere ecco un paio di riferimenti utili:

    - formule di addizione e sottrazione, una lezione di riepilogo con le dimostrazioni di tutte le formule di addizione e sottrazione degli angoli;

    - formule goniometriche, dove trovi un elenco completo di tutte le formule che si usano in Trigonometria.

    Risposta di Galois
 
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