Proprietà dell'invertire
Cosa dice la proprietà dell'invertire e come si usa? Potreste spiegarmi in parole povere la proprietà dell'invertire delle proporzioni, e proporre qualche esempio di utilizzo?
Mi piacerebbe anche sapere se è possibile dimostrarla, ed eventualmente come fare. Ho sfogliato tutto il capitolo del libro e non viene fatto alcun cenno sulla dimostrazione di questa proprietà.
La proprietà dell'invertire stabilisce che se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene una nuova proporzione. In altri termini la proprietà dell'invertire afferma che se a:b=c:d è una proporzione, allora lo è anche b:a=d:c.
Per capire l'enunciato di questa proprietà bisogna ricordare cosa sono gli antecedenti e i conseguenti di una proporzione.
Consideriamo una proporzione qualsiasi
• gli antecedenti sono i numeri che precedono i due punti, dunque il primo e in terzo termine (a e c);
• i conseguenti sono i numeri che seguono i due punti, dunque il secondo e il quarto termine (b e d).
Scambiare ogni antecedente con il proprio conseguente significa allora scambiare il primo termine con il secondo (a con b) e il terzo termine con il quarto (c con d).
Esempi di utilizzo della proprietà dell'invertire
1) Applicare alla seguente proporzione la proprietà dell'invertire e verificare che quella ottenuta è ancora una proporzione
Svolgimento: nella proporzione
gli antecedenti sono 12 e 8 e i conseguenti sono 3 e 2.
Applichiamo la proprietà dell'invertire e scambiamo ogni antecedente con il proprio conseguente
Per verificare che questa è ancora una proporzione usiamo la proprietà fondamentale, secondo cui una proporzione è tale se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Il prodotto dei medi è
Il prodotto degli estremi è
Poiché i due prodotti sono uguali, quella ottenuta è ancora una proporzione.
2) Si consideri la proporzione con frazioni
Applicare la proprietà dell'invertire e verificare che si ottiene una nuova proporzione.
Svolgimento: usiamo la proprietà dell'invertire e scambiamo ogni antecedente con il suo conseguente
Per controllare se quella ottenuta è ancora un proporzione moltiplichiamo tra loro i medi e moltiplichiamo tra loro gli estremi.
Svolgiamo la moltiplicazione tra frazioni semplificando a croce, ossia dividiamo il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda per 7
Dal prodotto degli estremi si ottiene lo stesso risultato
e concludiamo che la proprietà dell'invertire ha effettivamente generato una nuova proporzione.
Dimostrazione della proprietà dell'invertire
Siano 
quattro numeri non nulli tali da formare una proporzione, ossia tali che .
Dobbiamo dimostrare che anche 
è una proporzione.
Assumiamo che
sia una proporzione. Per la proprietà fondamentale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, per cui
Invertiamo il primo con il secondo membro. Possiamo farlo perché l'uguaglianza è una relazione simmetrica
Sempre dalla proprietà fondamentale segue che 
sono i medi e che 
sono gli estremi di una proporzione, ossia
da cui la tesi.
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La proprietà dell'invertire si usa, insieme alle proprietà del comporre e dello scomporre, per risolvere le proporzioni con due incognite. Per vedere degli esempi al riguardo ti rimandiamo agli approfondimenti:
- sulla proprietà del comporre;
- sulla proprietà dello scomporre.
Ti segnaliamo anche:
- la nostra lezione sulle proporzioni;
- l'approfondimento sulle proprietà delle proporzioni;
- l'approfondimento su rapporti e proporzioni;
- il tool per risolvere le proporzioni online.