Soluzioni
  • Il seno della differenza di due angoli è uguale al seno del primo angolo moltiplicato per il coseno del secondo, meno il prodotto tra il coseno del primo angolo e il seno del secondo.

    sin(α-β) = sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

    Ecco un piccolo trucco per ricordarla. Quando abbiamo il seno della differenza di due angoli α e β, lo riscriviamo come differenza di prodotti misti tra seno e coseno, rispettando l'ordine seno per coseno e coseno per seno (sen cos | cos sen):

    sin(α-β) = sin(...) cos(...)-cos(...) sin(...)

    Successivamente completiamo gli argomenti di seno e coseno mantenendo l'ordine iniziale degli angoli. Nel nostro caso prima α e poi β:

    sin(α-β) = sin(α) cos(β)-cos(α) sin(β)

    Ed ecco che abbiamo la formula con cui calcolare il seno della differenza di due angoli.

    Dimostrazione della formula del seno della differenza di due angoli

    Il modo più semplice di dimostrare la formula del seno della differenza è quello di partire dalla formula del seno della somma

    sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

    per poi usare un piccolo trucco algebrico e applicare le formule degli archi associati.

    Procediamo. Nella formula del seno della somma sostituiamo β con -β

    sin(α+(-β)) = sin(α)cos(-β)+cos(α)sin(-β)

    e otteniamo

    sin(α-β) = sin(α)cos(-β)+cos(α)sin(-β) (•)

    Per le relazioni degli angoli associati:

     cos(-β) = cos(β) ; sin(-β) = -sin(β)

    Sostituendo in (•) ricaviamo proprio la formula del seno della differenza

    sin(α-β) = sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

    Osservazione sulla dimostrazione della formula per il seno della differenza

    Come per ogni altra formula di addizione e sottrazione degli angoli, la formula del seno della differenza si potrebbe ricavare anche per via geometrica, ma la dimostrazione sarebbe piuttosto lunga e articolata.

    Solitamente si preferisce dimostrare geometricamente solo la formula del coseno dalla differenza:

    cos(α-β) = cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)

    Successivamente, a partire da essa, si dimostrano:

    • la formula del coseno della somma

    cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

    sostituendo β con -β e applicando le formule degli archi associati;

    • la formula del seno della somma

    sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

    sostituendo α con 90°-α e usando ancora le formule degli archi associati.

    Infine da quest'ultima si ricava la formula del seno della differenza, proprio come abbiamo visto poco fa.

    Esempio di applicazione della formula del seno della differenza

    Proponiamoci di calcolare il seno di 150°, che solitamente è uno di quei valori che non si ricorda a memoria.

    Scriviamo 150° come differenza tra 180° e 30°

    150° = 180°-30°

    e applichiamo la formula per il seno della differenza

    sin(α-β) = sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

    in cui sostituiamo α = 180° e β = 30°

     sin(150°) = sin(180°-30°) = sin(180°)cos(30°)-cos(180°)sin(30°) = (☆)

    Abbiamo ottenuto un'espressione che contiene solo valori notevoli delle funzioni goniometriche, che andrebbero ricordati a memoria:

    • il seno di 180° è uguale a 0

    sin(180°) = 0

    • il coseno di 30° è uguale a √3/2

    cos(30°) = (√(3))/(2)

    • il coseno di 180° è -1

    cos(180°) = -1

    • il seno di 30° è uguale a 1/2

    sin(30°) = (1)/(2)

    Di conseguenza

    (☆) = 0·(√(3))/(2)-(-1)·(1)/(2) = 0-(-(1)/(2)) = 0+(1)/(2) = (1)/(2)

    ***

    Concludiamo con un paio di riferimenti utili:

    - formule di addizione e sottrazione degli angoli, dove proponiamo le dimostrazioni di tutte le formule di addizione e sottrazione;

    - formule di Trigonometria, per una panoramica completa di tutte le formule goniometriche.

    Risposta di Galois
 
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