Proprietà del permutare
Qual è la proprietà del permutare delle proporzioni? Potreste dirmi cosa dice la proprietà del permutare, spiegarmela con parole semplici e magari proporre qualche esempio di utilizzo?
La proprietà del permutare i medi e la proprietà del permutare gli estremi sono la stessa cosa, oppure sono proprietà diverse?
Se non è troppo complicata mi piacerebbe anche leggere la dimostrazione di questa proprietà.
La proprietà del permutare stabilisce che se in una proporzione si scambiano tra loro i medi, o gli estremi, o entrambi, si ottengono altre proporzioni. Se a:b=c:d è una proporzione, allora lo sono anche a:c=b:d, d:b=c:a, e d:c=b:a, ottenute scambiando rispettivamente i medi, gli estremi, sia i medi che gli estremi della proporzione iniziale.
Entriamo nel dettaglio e consideriamo una proporzione:
Ricordiamo che:
- i medi sono i termini più vicini al simbolo di uguale, ossia il secondo e il terzo termine (b e c);
- gli estremi sono i termini più esterni, ossia il primo e il quarto (a e d).
La proprietà del permutare ingloba tre proprietà, che alcuni libri di testo presentano separatamente:
• la proprietà del permutare i medi: se in una proporzione si scambiano tra loro i medi, si ottiene una nuova proporzione.
• la proprietà del permutare i gli estremi: se in una proporzione si scambiano tra loro gli estremi, si ottiene una nuova proporzione.
• la proprietà del permutare i medi e gli estremi: se in una proporzione si scambiano tra loro sia gli estremi che i medi, si ottiene una nuova proporzione.
La scelta di considerarla come un'unica proprietà oppure come tre proprietà distinte è arbitraria. Dal canto nostro ti consigliamo di attenerti alla scelta del tuo professore. ;)
Esempi di utilizzo della proprietà del permutare
1) Si consideri la proporzione
Applicare tutte le varianti della proprietà del permutare e verificare che quelle ottenute sono ancora proporzioni.
Svolgimento: nella proporzione
i medi sono 7 e 15, gli estremi sono 5 e 21.
- Permutiamo i medi, ossia scambiamo il 7 con il 15
Per verificare che questa è ancora una proporzione applichiamo la proprietà fondamentale, secondo cui una proporzione è tale se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Il prodotto dei medi è
ed è uguale al prodotto degli estremi
per cui la permutazione dei medi ha generato una nuova proporzione.
- Torniamo alla proporzione inziale e permutiamo gli estremi
Anche qui il prodotto dei medi uguaglia il prodotto degli estremi
dunque abbiamo una nuova proporzione.
- Concludiamo con la permutazione sia dei medi che degli estremi
e anche qui ne risulta una nuova proporzione, infatti:
2) Applicare tutte le possibili varianti della proprietà del permutare alla seguente proporzione con le frazioni
e verificare che quelle ottenute sono ancora proporzioni.
Svolgimento: partiamo dall'applicazione della proprietà del permutare i medi
Per verificare che è ancora una proporzione moltiplichiamo tra loro i medi e calcoliamo il prodotto tra frazioni
Svolgiamo poi la moltiplicazione tra gli estremi
e, dopo aver semplificato a croce
ricaviamo che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, dunque abbiamo ottenuto una nuova proporzione.
Applichiamo poi la proprietà del permutare gli estremi
Evidentemente il prodotto degli estremi
è uguale al prodotto dei medi
dunque abbiamo una nuova proporzione.
Infine dall'applicazione della proprietà del permutare i medi e gli estremi si ha
ed è ancora una proporzione, dal momento che
Dimostrazione della proprietà del permutare
Consideriamo quattro numeri non nulli 
tali da formare la proporzione . Per dimostrare la proprietà del permutare dobbiamo verificare che le seguenti sono tutte proporzioni:
Sappiamo che è una proporzione, dunque per la proprietà fondamentale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi
Applichiamo la proprietà commutativa della moltiplicazione al primo membro
Ciò significa che, per la proprietà fondamentale, vale la proporzione
Ripartiamo dalla relazione 
e questa volta applichiamo la proprietà commutativa al secondo membro
La precedente uguaglianza si traduce nella proporzione
Riprendiamo ancora una volta la relazione e applichiamo la proprietà commutativa in entrambi i membri
Per la proprietà fondamentale delle proporzioni otteniamo
e ciò conclude la dimostrazione della proprietà del permutare.
***
La proprietà del permutare si rivela estremamente utile quando si devono risolvere le proporzioni con due incognite, dove generalmente viene utilizzata insieme alla proprietà del comporre e alla proprietà dello scomporre.
Con questo è tutto, o quasi. Lasciamo giusto qualche link di approfondimento:
- lezione sulle proporzioni;
- approfondimento sulle proprietà delle proporzioni;
- approfondimento su rapporti e proporzioni;
- tool per risolvere le proporzioni online.