Soluzioni
  • Effettuiamo lo studio di funzione

    f(x)=\sqrt{x}\log(x)

    e cominciamo dal dominio, stando attenti che le radici con indice pari richiedono che il loro argomento, ossia il radicando, sia maggiore o al più uguale a zero. Il logaritmo, dal canto suo, pretende che il suo argomento sia maggiore di zero.

    Il dominio della funzione è pertanto dettato da due condizioni che inseriremo in un sistema

    \begin{cases}x\ge 0&\mbox{c.e. radice}\\ x>0&\mbox{c.e. logaritmo}\end{cases}

    la cui soluzione è x>0. Il dominio di f(x) è conseguentemente

    \mbox{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x>0\}= (0, +\infty)

    Parità e disparità: il dominio non è simmetrico rispetto a 0, dunque f(x) non può essere né una funzione pari né dispari.

    Segno e intersezioni con gli assi: il segno della funzione si studia impostando la disequazione

    f(x)\ge 0\to\sqrt{x}\log(x)\ge 0

    Determiniamo il segno di ciascun fattore

    \\ \sqrt{x}\ge 0\to x\ge 0 \\ \\ \log(x)\ge 0\to x\ge 1

    Possiamo quindi asserire che la funzione è

    - positiva per x>1;

    - nulla per x=1;

    - negativa per 0<x<1.

    Osserviamo che il punto (1, 0) è di intersezione tra il grafico di f(x) e l'asse delle ascisse. Non c'è alcun punto di intersezione con l'asse delle ordinate perché 0\notin\mbox{dom}(f).

    Limiti agli estremi del dominio: vediamo come si comporta f(x) agli estremi del dominio studiando i limiti per x\to 0^{+} e per x\to +\infty.

    \\ \lim_{x\to 0^{+}}f(x)= \\ \\ =\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}\log(x)=[0\cdot (-\infty)]=0

    Il limite presenta una forma indeterminata che possiamo risolvere mediante il confronto tra infiniti.

    \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}\log(x)=[+\infty\cdot (+\infty)]=+\infty

    Questo limite si risolve usando invece l'algebra degli infiniti e, poiché non è finito, certamente la funzione non ammette asintoto orizzontale. Può presentare invece un asintoto obliquo per x\to +\infty di equazione

    y=mx+q

    Impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare che deve essere finito e diverso da zero

    \\ m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x}\log(x)}{x}=

    Il limite presenta una forma di indecisione che possiamo risolvere scrivendo \sqrt{x} in forma di potenza con esponente fratto, così che poi possiamo usare le proprietà delle potenze

    \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{x^{\frac{1}{2}}\log(x)}{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{\log(x)}{x^{1-\frac{1}{2}}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{\log(x)}{x^{\frac{1}{2}}}= 0

    Il limite è zero perché il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza. f(x) non ha asintoto obliquo.

    Derivata prima: calcoliamo la derivata prima della funzione utilizzando la regola per la derivata di un prodotto così da ottenere

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]= \frac{d}{dx}[\sqrt{x}\log(x)]=  \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}[\sqrt{x}]\log(x)+\sqrt{x}\frac{d}{dx}[\log(x)]= \\ \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\log(x)+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}= \\ \\ \\ = \frac{\log(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=

    Semplifichiamo il più possibile l'espressione della derivata prima eseguendo il minimo comune multiplo

    =\frac{2+\log(x)}{2\sqrt{x}}

    Osservazione sui punti di non derivabilità: f(x) è certamente una funzione derivabile per x>0 perché prodotto di funzioni derivabili per x>0, dunque non vi sono punti di non derivabilità.

    Studiamo il segno di f'(x) così da determinare gli intervalli di monotonia, ossia gli intervalli in cui f(x) è crescente e quelli in cui la funzione è decrescente.

    Grazie allo studio della derivata prima inoltre, otterremo informazioni sugli eventuali punti di massimo e di minimo e conseguentemente sugli eventuali massimi e minimi della funzione. Impostiamo la disequazione

    f'(x)\ge 0\to \frac{2+\log(x)}{2\sqrt{x}}\ge 0

    Il denominatore è certamente positivo nel dominio, dunque f'(x) è concorde con il numeratore:

    f'(x)\ge 0\iff 2+\log(x)\ge 0\to \log(x)\ge -2\to x\ge e^{-2}

    Risolta la disequazione logaritmica, possiamo asserire che f'(x) è:

     - positiva per x>e^{-2};

     - nulla per x=e^{-2};

     - negativa per 0<x<e^{-2};

     e dunque f(x):

     - è strettamente crescente nell'intervallo  (e^{-2}, +\infty);

     - è strettamente decrescente nell'intervallo (0, e^{-2});

     - ha un punto di minimo assoluto per x=e^{-2}, il minimo associato è

    \mbox{min}= f(e^{-2})=-\frac{2}{e}.

    Derivata seconda: calcoliamo la derivata seconda f''(x) applicando le regole di derivazione sull'espressione della derivata prima.

    f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]=\frac{d}{dx}\left[\frac{2+\log(x)}{\sqrt{x}}\right]

     In particolare utilizziamo la regola per la derivata di un rapporto così da ottenere:

    \\ = \frac{\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x}-(2+\log(x))\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{[2\sqrt{x}]^2}=

    che grazie alle proprietà delle radici possiamo scrivere come

    \\ = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2+\log(x)}{\sqrt{x}}}{x}= \\ \\ \\ = \frac{2-2-\log(x)}{4x\sqrt{x}}= \\ \\ \\ = \frac{-\log(x)}{4x\sqrt{x}}

    Studiamo il segno della derivata seconda, in questo modo determineremo gli intervalli in cui f(x) è una funzione convessa e quelli in cui è concava. I punti che annullano la derivata seconda si candidano come punti di flesso:

     f''(x)\ge 0\to -\frac{\log(x)}{4x\sqrt{x}}\ge 0

    Osserviamo che 4x\sqrt{x} è certamente positiva nel dominio di f(x) dunque la derivata seconda è concorde con il numeratore ossia

    f''(x)\ge 0\iff -\log(x)\ge 0\to \log(x)\le 0\iff 0<x\le 1

    Possiamo concludere che la derivata seconda è

    - positiva se 0<x<1;

    - nulla se x=1;

    - negativa se x>1,

    dunque f(x):

    - è convessa nell'intervallo (0,1);

    - è concava nell'intervallo (1, +\infty);

    - ha un punto di flesso per x=1.

    Lo studio di funzione è completo, ti consiglio di utilizzare il tool per il grafico di funzione online, così puoi controllare l'andamento della funzione.

    Risposta di Ifrit
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