Soluzioni
  • La tangente della somma di due angoli è uguale alla tangente del primo angolo più la tangente del secondo angolo, tutto fratto 1 meno il prodotto tra la tangente del primo angolo e la tangente del secondo angolo.

    \\ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)} \\ \\ \\ \mbox{con } \alpha, \beta, \alpha+\beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}, \ k \in \mathbb{Z}

    È evidente che la formula per la tangente di una somma vale sotto opportune condizioni di esistenza. I valori esclusi per le ampiezze degli angoli \alpha, \beta, \alpha+\beta farebbero infatti perdere di significato alla formula, in accordo con la definizione di tangente di un angolo.

    Dimostrazione della formula per la tangente della somma

    Siano \alpha, \beta due angoli, con \alpha, \beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ} e tali che \alpha+\beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}, con k \in \mathbb{Z} numero intero relativo.

    Vogliamo dimostrare la formula della tangente di una somma, ossia che

    \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    Procediamo! La tangente di un angolo è definita come il rapporto tra seno e coseno dello stesso angolo, per cui

    \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=

    Applichiamo la formula per il seno della somma a numeratore e quella per il coseno della somma a denominatore:

    =\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}=

    Dividiamo numeratore e denominatore per \cos(\alpha)\cos(\beta). Possiamo farlo perché abbiamo inizialmente supposto \alpha, \beta \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}, dunque il termine per cui stiamo dividendo è diverso da zero:

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}=

    Riscriviamo numeratore e denominatore dividendo termine a termine

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}+\dfrac{\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}-\dfrac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}=

    e facciamo tutte le semplificazioni possibili:

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\dfrac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}=

    Scriviamo il secondo termine del denominatore come moltiplicazione tra frazioni

    =\frac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}=

    e applichiamo la definizione di tangente di un angolo

    = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    Ci siamo! Abbiamo dimostrato la formula per la tangente della somma:

    \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    Esempio di applicazione della formula della tangente della somma

    Vediamo un esempio e calcoliamo la tangente di 75°.

    Scriviamo l'angolo come somma tra 45° e 30°

    75^{\circ}=45^{\circ}+30^\circ

    e applichiamo la formula per la tangente della somma (le condizioni di esistenza sono soddisfatte):

    \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

    Sostituiamo \alpha=45^{\circ} e \beta=30^{\circ}

    \\ \tan(75^{\circ}) = \tan(45^{\circ}+30^{\circ}) = \\ \\ = \frac{\tan(45^{\circ}) + \tan(30^{\circ})}{1-\tan(45^{\circ}) \tan(30^{\circ})}=

    Ricordiamo che la tangente di 45° è uguale a 1 e che la tangente di 30° è uguale a √3/3

    =\frac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1-1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}=

    Svolgiamo le operazioni tra frazioni

    \\ =\frac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1-1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}}= \frac{\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}}= \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{3}+3}{3-\sqrt{3}}=

    e per concludere razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per 3+\sqrt{3}

    =\frac{(\sqrt{3}+3)(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=

    Dopo qualche semplice passaggio algebrico otteniamo

    =2+\sqrt{3}

    e in definitiva

    \tan(75^{\circ})=2+\sqrt{3}

    ***

    Ci fermiamo qui, con qualche link che potrebbe tornarti utile:

    - formule di addizione e sottrazione degli angoli, per un elenco con tutte le formule di addizione e sottrazione (e le relative dimostrazioni);

    - formule di Trigonometria, per una panoramica completa di tutte le formule goniometriche;

    - valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Risposta di Galois
 
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