Soluzioni
  • La proprietà dello scomporre afferma che in ogni proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine. Se a:b=c:d è una proporzione, lo sono anche (a-b):a=(c-d):c e (a-b):b=(c-d):d.

    a:b = c:d ⇒ (a-b):a = (c-d):c ; (a-b):b = (c-d):d

    Osservazione sull'enunciato della proprietà dello scomporre

    In alcuni libri di testo di scuola media l'enunciato della proprietà dello scomporre è leggermente diverso, perché viene fatta un'ipotesi aggiuntiva. Si richiede infatti che nella proporzione di partenza ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente, cioè che sia a>b e c>d.

    Il motivo è che quando si studiano le proporzioni per la prima volta, alle scuole medie, si lavora nell'insieme dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, ...) e non si conoscono ancora i numeri interi relativi (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

    Richiedere che ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente assicura che, quando si applica la proprietà dello scomporre, si ottengano ancora numeri non negativi. Tutto qui.

    In definitiva non esiste un enunciato più o meno corretto dell'altro, perché tutto dipende dal tuo livello di studi.

    • Se già conosci l'insieme Z dei numeri interi relativi, puoi attenerti all'enunciato della proprietà dello scomporre nella sua forma generale, che è quello che non impone alcuna condizione aggiuntiva su antecedenti e conseguenti. In ogni proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

    • Se invece non hai ancora studiato l'insieme dei numeri negativi, devi usare l'enunciato in cui si richiede che ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente. In ogni proporzione con gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti, la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

    Esempi di utilizzo della proprietà dello scomporre

    1) Si consideri la proporzione

    90:6 = 45:3

    Applicare le due varianti della proprietà dello scomporre e verificare che quelle ottenute sono ancora proporzioni.

    Svolgimento: una delle varianti delle proprietà del scomporre stabilisce che la differenza dei primi due termini di una proporzione sta al primo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo termine.

    Di conseguenza:

    90:6 = 45:3 → (90-6):90 = (45-3):45

    Svolgiamo le sottrazioni

    84:90 = 42:45

    Per verificare che questa è ancora una proporzione usiamo la proprietà fondamentale, secondo cui una proporzione è tale se il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.

    Nel nostro caso gli estremi sono 84 e 45, i medi 90 e 42. Poiché:

     84×45 = 3780 ; 90×42 = 3780

    quella ottenuta è ancora una proporzione.

    Applichiamo ora la seconda variante della proprietà dello scomporre, secondo cui la differenza dei primi due termini sta al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al quarto termine.

    90:6 = 45:3 → (90-6):6 = (45-3):3

    ossia

    84:6 = 42:3

    Anche questa è una proporzione, infatti il prodotto degli estremi

    84×3 = 252

    è uguale al prodotto dei medi

    6×42 = 252

    2) Data la seguente proporzione con frazioni

    (5)/(4):(1)/(2) = (5)/(6):(1)/(3)

    applicare le due varianti della proprietà dello scomporre e verificare che si ottengono due nuove proporzioni.

    Svolgimento: partiamo dall'applicazione della prima variante della proprietà dello scomporre (differenza dei primi due termini sta al primo termine come differenza degli ultimi due termini sta al terzo termine).

    (5)/(4):(1)/(2) = (5)/(6):(1)/(3) → ((5)/(4)-(1)/(2)) : (5)/(4) = ((5)/(6)-(1)/(3)) : (5)/(6)

    Svolgiamo le sottrazioni tra frazioni

    (5-2)/(4) : (5)/(4) = (5-2)/(6) : (5)/(6)

    e otteniamo

    (3)/(4) : (5)/(4) = (3)/(6) : (5)/(6)

    Riduciamo ai minimi termini la frazione 3/6

    (3)/(4) : (5)/(4) = (1)/(2) : (5)/(6)

    Per verificare che è una proporzione applichiamo la proprietà fondamentale.

    Moltiplichiamo tra loro i medi e calcoliamo il prodotto tra frazioni

    (5)/(4)×(1)/(2) = (5×1)/(4×2) = (5)/(8)

    Svolgiamo poi la moltiplicazione tra gli estremi, semplificando a croce

    (3)/(4)×(5)/(6) = (1)/(4)×(5)/(2) = (5)/(8)

    Poiché il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quella che abbiamo ricavato è ancora una proporzione.

    Applichiamo l'altra variante della proprietà dello scomporre (differenza dei primi due termini sta al secondo termine come differenza degli ultimi due termini sta al quarto termine).

    (5)/(4):(1)/(2) = (5)/(6):(1)/(3) → ((5)/(4)-(1)/(2)) : (1)/(2) = ((5)/(6)-(1)/(3)) : (1)/(3)

    e otteniamo

    (3)/(4) : (1)/(2) = (1)/(2) : (1)/(3)

    Anche qui il prodotto dei medi

    (1)/(2)×(1)/(2) = (1)/(4)

    è uguale al prodotto degli estremi

    (3)/(4)×(1)/(3) = (1)/(4)

    dunque abbiamo una nuova proporzione.

    Proprietà dello scomporre nelle proporzioni con due incognite

    La proprietà dello scomporre si rivela particolarmente utile quando bisogna risolvere le proporzioni con due incognite, x e y, di cui si conosce il valore della loro differenza. Vediamo un esempio.

    Sapendo che x-y = 12 determinare i valori di x e y nella seguente proporzione:

    y:x = 1:3

    Svolgimento: come prima cosa applichiamo la proprietà dell'invertire, ossia scambiamo ogni antecedente con il proprio conseguente

    y:x = 1:3 → x:y = 3:1

    Usiamo poi una delle due varianti della proprietà dello scomporre (non importa quale)

    x:y = 3:1 → (x-y):x = (3-1):3

    e otteniamo

    (x-y):x = 2:3

    Sostituiamo x-y = 12

    12:x = 2:3

    e ricaviamo il valore di x con la proprietà fondamentale

     2×x = 12×3 ; 2×x = 36 ; x = (36)/(2) = 18

    Troviamo poi il valore della y sfruttando la relazione x-y = 12, da cui otteniamo

    y = x-12 = 18-12 = 6

    In definitiva

    x = 18 ; y = 6

    Dimostrazione della proprietà dello scomporre

    Siano a,b,c,d quattro numeri diversi da zero tali da formare la proporzione a:b = c:d. Per dimostrare la proprietà dello scomporre dobbiamo verificare che

     (1) (a-b):b = (c-d):d ; (2) (a-b):a = (c-d):c

    sono ancora proporzioni.

    Partiamo dal punto (1).

    Una proporzione è un'uguaglianza tra rapporti, dunque dalla proporzione a:b = c:d segue che

    (a)/(b) = (c)/(d)

    Sottraiamo 1 a entrambi i membri

    (a)/(b)-1 = (c)/(d)-1

    Svolgiamo le sottrazioni

    (a-b)/(b) = (c-d)/(d)

    Passiamo dall'uguaglianza tra rapporti alla relativa proporzione

    (a-b):b = (c-d):d

    e otteniamo quanto volevamo provare.

    Per dimostrare il punto (2) partiamo sempre dalla proporzione

    a:b = c:d

    Applichiamo la proprietà dell'invertire e scambiamo ogni antecedente con il proprio conseguente

    b:a = d:c

    Scriviamo la proporzione come uguaglianza tra rapporti

    (b)/(a) = (d)/(c)

    Moltiplichiamo ambo i membri per -1

    -(b)/(a) = -(d)/(c)

    e sommiamo 1 ad entrambi i membri

    1+(-(b)/(a)) = 1+(-(d)/(c))

    ossia

    1-(b)/(a) = 1-(d)/(c)

    Svolgiamo i calcoli e otteniamo

    (a-b)/(a) = (c-d)/(c)

    Scriviamo l'uguaglianza come proporzione

    (a-b):a = (c-d):c

    e anche il punto (2) è dimostrato.

    ***

    Eccoti, per concludere, qualche riferimento che potrebbe tornarti utile:

    - lezione sulle proporzioni;

    - approfondimento su rapporti e proporzioni;

    - tool per risolvere le proporzioni online.

    Risposta di Galois
 
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