Proprietà dello scomporre

La proprietà dello scomporre afferma che in ogni proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine. Se a:b=c:d è una proporzione, lo sono anche (a-b):a=(c-d):c e (a-b):b=(c-d):d.

Osservazione sull'enunciato della proprietà dello scomporre

In alcuni libri di testo di scuola media l'enunciato della proprietà dello scomporre è leggermente diverso, perché viene fatta un'ipotesi aggiuntiva. Si richiede infatti che nella proporzione di partenza ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente, cioè che sia a>b e c>d.

Il motivo è che quando si studiano le proporzioni per la prima volta, alle scuole medie, si lavora nell'insieme dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, ...) e non si conoscono ancora i numeri interi relativi (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

Richiedere che ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente assicura che, quando si applica la proprietà dello scomporre, si ottengano ancora numeri non negativi. Tutto qui.

In definitiva non esiste un enunciato più o meno corretto dell'altro, perché tutto dipende dal tuo livello di studi.

• Se già conosci l'insieme Z dei numeri interi relativi, puoi attenerti all'enunciato della proprietà dello scomporre nella sua forma generale, che è quello che non impone alcuna condizione aggiuntiva su antecedenti e conseguenti. In ogni proporzione la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

• Se invece non hai ancora studiato l'insieme dei numeri negativi, devi usare l'enunciato in cui si richiede che ogni antecedente sia maggiore del proprio conseguente. In ogni proporzione con gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti, la differenza dei primi due termini sta al primo oppure al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo oppure al quarto termine.

Esempi di utilizzo della proprietà dello scomporre

1) Si consideri la proporzione

Applicare le due varianti della proprietà dello scomporre e verificare che quelle ottenute sono ancora proporzioni.

Svolgimento: una delle varianti delle proprietà del scomporre stabilisce che la differenza dei primi due termini di una proporzione sta al primo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al terzo termine.

Di conseguenza:

Svolgiamo le sottrazioni

Per verificare che questa è ancora una proporzione usiamo la proprietà fondamentale, secondo cui una proporzione è tale se il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi.

Nel nostro caso gli estremi sono 84 e 45, i medi 90 e 42. Poiché:

quella ottenuta è ancora una proporzione.

Applichiamo ora la seconda variante della proprietà dello scomporre, secondo cui la differenza dei primi due termini sta al secondo termine come la differenza degli ultimi due termini sta al quarto termine.

ossia

Anche questa è una proporzione, infatti il prodotto degli estremi

è uguale al prodotto dei medi

2) Data la seguente proporzione con frazioni

applicare le due varianti della proprietà dello scomporre e verificare che si ottengono due nuove proporzioni.

Svolgimento: partiamo dall'applicazione della prima variante della proprietà dello scomporre (differenza dei primi due termini sta al primo termine come differenza degli ultimi due termini sta al terzo termine).

Svolgiamo le sottrazioni tra frazioni

e otteniamo

Riduciamo ai minimi termini la frazione 3/6

Per verificare che è una proporzione applichiamo la proprietà fondamentale.

Moltiplichiamo tra loro i medi e calcoliamo il prodotto tra frazioni

Svolgiamo poi la moltiplicazione tra gli estremi, semplificando a croce

Poiché il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quella che abbiamo ricavato è ancora una proporzione.

Applichiamo l'altra variante della proprietà dello scomporre (differenza dei primi due termini sta al secondo termine come differenza degli ultimi due termini sta al quarto termine).

e otteniamo

Anche qui il prodotto dei medi

è uguale al prodotto degli estremi

dunque abbiamo una nuova proporzione.

Proprietà dello scomporre nelle proporzioni con due incognite

La proprietà dello scomporre si rivela particolarmente utile quando bisogna risolvere le proporzioni con due incognite, e , di cui si conosce il valore della loro differenza. Vediamo un esempio.

Sapendo che determinare i valori di e nella seguente proporzione:

Svolgimento: come prima cosa applichiamo la proprietà dell'invertire, ossia scambiamo ogni antecedente con il proprio conseguente

Usiamo poi una delle due varianti della proprietà dello scomporre (non importa quale)

e otteniamo

Sostituiamo

e ricaviamo il valore di con la proprietà fondamentale

Troviamo poi il valore della sfruttando la relazione , da cui otteniamo

In definitiva

Dimostrazione della proprietà dello scomporre

Siano quattro numeri diversi da zero tali da formare la proporzione . Per dimostrare la proprietà dello scomporre dobbiamo verificare che

sono ancora proporzioni.

Partiamo dal punto (1).

Una proporzione è un'uguaglianza tra rapporti, dunque dalla proporzione segue che

Sottraiamo 1 a entrambi i membri

Svolgiamo le sottrazioni

Passiamo dall'uguaglianza tra rapporti alla relativa proporzione

e otteniamo quanto volevamo provare.

Per dimostrare il punto (2) partiamo sempre dalla proporzione

Applichiamo la proprietà dell'invertire e scambiamo ogni antecedente con il proprio conseguente

Scriviamo la proporzione come uguaglianza tra rapporti

Moltiplichiamo ambo i membri per -1

e sommiamo 1 ad entrambi i membri

ossia

Svolgiamo i calcoli e otteniamo

Scriviamo l'uguaglianza come proporzione

e anche il punto (2) è dimostrato.

***

Per concludere ecco qualche riferimento che potrebbe tornarti utile:

- lezione sulle proporzioni;

- approfondimento sulle proprietà delle proporzioni;

- approfondimento su rapporti e proporzioni;

- tool per risolvere le proporzioni online.