Soluzioni
  • Il coseno della somma si calcola come cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β), ossia il coseno della somma di due angoli è uguale al prodotto tra il coseno del primo angolo e il coseno del secondo, meno il prodotto tra il seno del primo angolo e il seno del secondo.

    cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

    Con il passare del tempo (e dopo averla usata decine di volte) anche questa formula si imprime automaticamente nella memoria di ogni studente, ma all'inizio può capitare di avere qualche difficoltà a memorizzarla, soprattutto perché viene proposta assieme a molte altre formule goniometriche.

    Ecco allora un piccolo trucco mnemonico: tutte le volte che abbiamo il coseno della somma di due angoli α,β lo scriviamo come differenza tra il prodotto di due coseni e il prodotto di due seni, nell'ordine cos cos | sen sen:

    cos(α+β) = cos(...)cos(...)-sin(...)sin(...)

    Successivamente completiamo gli argomenti rispettando l'ordine inziale degli angoli; nel nostro caso prima α e poi β.

    cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

    Abbiamo così ottenuto la formula del coseno della somma! ;)

    Attenzione al segno! Il coseno della somma di due angoli è uguale alla differenza tra il prodotto di due coseni e il prodotto di due seni.

    Dimostrazione della formula del coseno della somma

    Tutte le formule di addizione e sottrazione degli angoli possono essere dimostrate per via geometrica, ma poiché le dimostrazioni di questo tipo sono piuttosto articolate solitamente si dimostra geometricamente solo la formula di sottrazione del coseno (che qui daremo per nota):

    cos(α-β) = cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)

    Le altre, e quindi anche la formula del coseno della somma, si ricavano da quest'ultima sostituendo opportunamente uno o più angoli e usando le formule degli angoli associati.

    Partiamo allora dalla formula del coseno della differenza di due angoli

    cos(α-β) = cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)

    Sostituiamo β con -β

    cos(α-(-β)) = cos(α)cos(-β)+sin(α)sin(-β)

    e otteniamo:

    cos(α+β) = cos(α)cos(-β)+sin(α)sin(-β) (•)

    A questo punto usiamo le relazioni degli archi associati

     cos(-β) = cos(β) ; sin(-β) = -sin(β)

    e sostituiamo in (•), in modo da ricavare la formula del coseno della somma:

    cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

    Esempio di applicazione della formula del coseno della somma

    A titolo di esempio applichiamo la formula del coseno della somma di due angoli per calcolare il coseno di 75 gradi.

    Scriviamo 75° come somma tra 45° e 30°

    75° = 45°+30°

    Applichiamo la formula per il coseno della somma

    cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

    e infine sostituiamo α = 45° e β = 30°:

     cos(75°) = cos(45°+30°) = cos(45°)cos(30°)-sin(45°)sin(30°) = (☆)

    Nell'ultima espressione compaiono solo valori notevoli delle funzioni goniometriche, che dovremmo ben conoscere:

    • il coseno di 45° è uguale a √2/2

    cos(45°) = (√(2))/(2)

    • il coseno di 30° è uguale a √3/2

    cos(30°) = (√(3))/(2)

    • il seno di 45° è uguale a √2/2

    sin(45°) = (√(2))/(2)

    • il seno di 30° è uguale a 1/2

    sin(30°) = (1)/(2)

    In definitiva

    (☆) = (√(2))/(2)·(√(3))/(2)-(√(2))/(2)·(1)/(2) = (√(6))/(4)-(√(2))/(4) = (√(6)-√(2))/(4)

    ***

    Se vuoi saperne di più sulle formule di addizione e sottrazione ti rimandiamo alla lezione del link, e per completezza ti segnaliamo anche la lezione di riepilogo sulle formule goniometriche.

    Risposta di Galois
 
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