Codimensione di un sottospazio vettoriale

La codimensione di un sottospazio vettoriale è la differenza tra la dimensione dello spazio vettoriale in cui è definito il sottospazio e la dimensione del sottospazio stesso. Se U è un sottospazio di uno spazio vettoriale V di dimensione finita, la codimensione di U è data dalla differenza tra la dimensione di V e la dimensione di U.

Evidentemente ha senso parlare di codimensione di un sottospazio solo nel caso di spazi vettoriali di dimensione finita, che sono quelli che si studiano nei corsi base di Algebra Lineare.

Come si calcola la codimensione di un sottospazio

Consideriamo uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo e sia un suo sottospazio.

Per calcolare la codimensione di è sufficiente calcolare la dimensione di e quella di , per poi sottrarle.

La dimensione di uno spazio vettoriale, e quindi di un sottospazio, è pari al numero degli elementi di una sua qualunque base, dunque per risolvere gli esercizi sul calcolo della codimensione è indispensabile:

- sapere quali sono le dimensioni degli spazi vettoriali che si presentano più di frequente negli esercizi (ad esempio , spazi di matrici e spazi di polinomi);

- sapere come si determina una base di un sottospazio vettoriale.

Esempio sul calcolo della codimensione di un sottospazio vettoriale

Calcolare la codimensione del sottospazio di generato dai seguenti vettori:

Svolgimento: sappiamo che è un sottospazio vettoriale di , dunque per calcolare la codimensione di ci servono la dimensione di e la dimensione di .

Ricordiamo che per ogni numero numero naturale , la dimensione è . Di conseguenza la dimensione di è 3.

Passiamo al calcolo della dimensione di , che è il sottospazio generato dai vettori

Estraiamo una base dal sistema di generatori applicando il metodo di eliminazione gaussiana.

Disponiamo i vettori per colonne in una matrice

Sostituiamo la seconda riga con la seguente combinazione lineare tra prima e seconda riga

e la terza riga con la somma tra l'opposta della prima riga e la terza

Il risultato è

Sostituiamo poi la terza riga di con la somma tra l'opposta della seconda riga e la terza

Otteniamo così la matrice a scalini

che ha 2 pivot: e .

Una base di è data dalle colonne della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne della matrice ridotta contenenti i pivot, per cui

Evidentemente la cardinalità dell'insieme è 2, dunque la dimensione di è pari a 2

Possiamo infine calcolare la codimensione di

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Per concludere ti consigliamo di dare un'occhiata alla scheda di esercizi sul calcolo di dimensione e base di un sottospazio vettoriale, dove trovi altre tracce con cui fare pratica.