Soluzioni
  • Anticipiamo fin da subito che l'unione di sottospazi vettoriali non è un sottospazio vettoriale, ma prima di vederne la dimostrazione partiamo dalla definizione di unione tra sottospazi.

    Sia V uno spazio vettoriale definito su un campo \mathbb{K} e siano S \mbox{ e } T due sottospazi vettoriali di V.

    Si definisce unione dei sottospazi S \mbox{ e } T e si indica con S \cup T l'insieme

    S \cup T = \{\mathbf{v} \in V \mbox{ tali che } \mathbf{v} \in S \mbox{ oppure } \mathbf{v} \in T\}

    Come del caso dell'unione insiemistica, l'unione di sottospazi è un insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei sottospazi che la definiscono.

    Dimostriamo ora che l'unione tra sottospazi non è un sottospazio. A tal proposito è sufficiente proporre un controesempio; se infatti esiste anche solo un caso in cui l'unione di sottospazi non è un sottospazio, possiamo dire che in generale l'unione non è un sottospazio (tipico ragionamento delle dimostrazioni con controesempi).

    Sia V=\mathbb{R}^2 e consideriamo i sottospazi

    \\ S= \mbox{Asse x} = \{(\alpha, 0) \ | \ \alpha \in \mathbb{R}\} \\ \\ T= \mbox{Asse y} = \{(0, \beta) \ | \ \beta \in \mathbb{R}\}

    Prendiamo l'unione dei due sottospazi, data dall'unione dei due assi cartesiani

    S \cup T = \mbox{Asse x} \cup \mbox{Asse y}

    Tale insieme non è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2 in quanto non è chiuso rispetto alla somma. Presi, ad esempio (1,0) \mbox{ e } (0,1) sebbene tali elementi appartengano a S \cup T, la loro somma non vi appartiene, infatti

    (1,0)+(0,1) = (1,1)

    Tale elemento non appartiene né a S né a T, dunque non appartiene a S \cup T.

    In accordo col metodo per stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale possiamo concludere che S \cup T non è un sottospazio di \mathbb{R}^2.

    Caso particolare: esiste, tuttavia, un caso in cui l'unione tra sottospazi è un sottospazio. Assumendo che S \mbox{ e } T siano due sottospazi vettoriali di V, se S \subseteq T \mbox{ oppure } T \subseteq S, allora S \cup T è un sottospazio vettoriale di V.

    Per convincersene è sufficiente osservare che se S \subseteq T allora S \cup T = T, che per definizione è un sottospazio vettoriale di V.

    Analogamente, se T \subseteq S allora S \cup T = S, che è un sottospazio di V.

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, se non consigliarvi di leggere la lezione su somma e intersezione di sottospazi, che a differenza dell'unione sono sempre sottospazi vettoriali.

    Risposta di Galois
 
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