Soluzioni
  • Premetto che la domanda ha senso solo nel contesto dell'Algebra di infiniti e infinitesimi, ed equivale a domandarsi qual è il valore del limite per x tendente a meno infinito

    \lim_{x\to -\infty}a^x

    Il valore del limite dipende dal numero, cioè dalla base che consideriamo. In ogni caso possiamo considerare come base solamente un numero positivo, in questo modo la funzione

    f(x)=a^x

    è definita su tutto l'asse reale \mathbb{R}. Se fosse a<0 potremmo lavorare solamente per x<0, dunque in questo caso domandarsi qual è il comportamento dell'esponenziale a meno infinito non avrebbe senso.

    1) Se il numero da "elevare a meno infinito" è maggiore di 1, dobbiamo fare riferimento al comportamento della funzione esponenziale con base maggiore di 1. Basta dare una rapida occhiata al grafico per capire che

    \lim_{x\to -\infty}a^x=0^+\mbox{ se }a>1

    2) Se il numero da "elevare a meno infinito" è uguale a 1, abbiamo a che fare con la funzione che vale identicamente 1 e quindi

    \lim_{x\to -\infty}1^x=1\mbox{ se }a=1

    Occhio che in questo caso NON abbiamo a che fare con una forma indeterminata, perché la base non tende a 1, è proprio 1.

    3) Se il numero da "elevare a meno infinito" è compreso tra 0 e 1, dobbiamo considerare l'esponenziale con base tra 0 e 1 e dunque

    \lim_{x\to -\infty}a^x=+\infty\mbox{ se }0<a<1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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